Codeforces 710 D. Two Arithmetic Progressions

Description

\(x=a_1k+b_1=a_2l+b_2,L\leqslant x \leqslant R\) 求满足这样条件的 \(x\) 的个数.

Sol

扩展欧几里得+中国剩余定理.

发现这个相当于一个线性方程组.

\(x \equiv b_1(mod a_1)\)

\(x \equiv b_2(mod a_2)\)

将原来两式相减得到 \(a_1k-a_2l=b_2-b_1\)

这个用扩展欧几里得求一下,如果 \((a_1,a_2)\nmid  (b_2-b_1)\) 显然无解.

用扩展欧几里得求的方程是 \(a_1k-a_2l=(a_1,a_2)\) ,将这个等式再乘上 \(\frac{b_2-b_1}{(a_1,a_2)}\)

现在我们得到了一组合法解,通解就是 \(k=k_0+\frac {a_2}{(a_1,a_2)},l=l_0-\frac {a_1}{(a_1,a_2)}\)

求得最小正数解可以对 \(\frac {a_2}{(a_1,a_2)}\) 取模.

然后原方程的解个数就是 \(k+n[a_1,a_2]\) ,不要忘记计算端点的这个值.

Code

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<iostream>
using namespace std;

typedef long long LL;
#define debug(a) cout<<#a<<"="<<a<<" "

LL a1,b1,a2,b2,k,l,x,lcm,gcd,L,R,ans;

void Exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y){
	if(!b){ x=1,y=0;return; }
	Exgcd(b,a%b,x,y);
	LL t=x;x=y,y=t-(a/b)*y;
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin>>a1>>b1>>a2>>b2>>L>>R;
	Exgcd(a1,a2,k,l);
	gcd=__gcd(a1,a2),lcm=a1/gcd*a2;
	L=max(L,max(b1,b2));
	if((b2-b1)%gcd || L>R) return puts("0"),0;
	k*=(b2-b1)/gcd,k=(k%(a2/gcd)+a2/gcd)%(a2/gcd);
	x=a1*k+b1;
//	debug(x),debug(lcm),debug(L),debug(R);
	if(R>=x) ans+=(R-x)/lcm+1;
	if(L-1>=x) ans-=(L-1-x)/lcm+1;
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}