交叉熵、KL 散度 | 定义与相互关系

1 KL 散度

对于离散概率分布 \(P\) 和 \(Q\) ，KL 散度定义为：

\[\text{KL}(P \| Q) = -E_{x\sim P}\log P(x)-\log Q(x)
\\
=\sum_{\mathbf{x}} P(\mathbf{x}) \log \frac{P(\mathbf{x})}{Q(\mathbf{x})}
\]

对于连续概率分布，定义为：

\[\text{KL}(P \| Q) = \int p(\mathbf{x}) \log \frac{p(\mathbf{x})}{q(\mathbf{x})} d\mathbf{x}
\]

其中，\(p(\mathbf{x})\) 是 \(P\) 的概率密度函数，\(q(\mathbf{x})\) 是 \(Q\) 的概率密度函数。

KL 散度的性质：

1. 非负性：KL 散度总是非负的，\(\text{KL}(P \| Q) \geq 0\)。
2. 不对称性：KL 散度不是对称的，即 \(\text{KL}(P \| Q) \neq \text{KL}(Q \| P)\)。
3. 零点：当 \(P\) 和 \(Q\) 完全相同时，\(\text{KL}(P \| Q) = 0\)。
4. 不满足三角不等式：KL 散度不满足传统意义上的三角不等式。

2 交叉熵

交叉熵（cross-entropy）和 KL 散度联系密切，也可以用来衡量两个分布的差异。

对于离散概率分布 \(P\) 和 \(Q\) ，交叉熵定义为：

\[H(P,Q)=-E_{x\sim P}\log Q(x)=-\sum P(x_i)\log Q(x_i)
\]

对于连续概率分布，定义为：

\[H(P,Q) = -\int p(\mathbf{x}) \log q(\mathbf{x}) d\mathbf{x}
\]

可以看出，\(H(P,Q)=H(P)+D_\text{KL}(P \| Q)\) ，其中 \(H(P)\) 是 P 的熵。

性质：

1. 非负性;
2. 和 KL 散度相同，交叉熵也不具备对称性，即 \(H(P,Q)\neq H(Q,P)\);
3. 对同一个分布求交叉熵，等于对其求熵。