2020ICPC上海 C题（数位dp, 记忆化搜索）

先复习了下之前做的数位DP又做了道新题才看的这道题，对我来说还是一种新类型，涉及到非线性计算，之前做的都是形如 \(dp[x]-dp[y]\)这样的只用处理一个上限做下差即可。一开始想分别枚举 \(x\)和 \(y\)中最高位 \(1\)的位置，计算符合要求的组合数目，但是一旦两个数的最高位 \(1\)是上限的时候感觉处理起来会很麻烦，需要分很多种讨论，而且情况还不好处理，容易缺漏。然后看了下题解，它是数位DP的思想加上记忆化搜索，它直接枚举最高位 \(1\)的位置，然后计算有多少种组合满足要求。状态数组为 \(dp[bit][is\_1][is\_2][ok]\)，第一维代表枚举的位数，第二、三维代表两个数的第 \(bit\)位是否被锁定，如果被锁定则该位取值不能大于原数该位的值，实际上是在限制这两个数不能大于原数，第四维代表两数的或运算结果在第 \(bit\)位是否必须为 \(1\)。然后记忆化搜索统计答案。

#include<cstdio>
#include<cstring>
const int mod = 1e9 + 7;

int T, x, y;
int dp[35][2][2][2];

inline int max(int a, int b) { return a > b ? a : b; }

// ok=1代表当前枚举的两个数的第bit位的|必须为1
int dfs(int bit, bool is_1, bool is_2, bool ok){
    if(bit == -1)  return 1;
    if(dp[bit][is_1][is_2][ok])  return dp[bit][is_1][is_2][ok];
    int temp = 0;
    // 上界
    int k1 = is_1 ? (x >> bit & 1) : 1;
    int k2 = is_2 ? (y >> bit & 1) : 1;
    //printf("%d %d %d", bit, k1, k2);
    for(int i = 0; i <= k1; ++i)
        for(int t = 0; t <= k2; ++t){
            if(i & t)  continue;
            // 此后不必要求两数之|为1，ok=0
	    if(ok){
                if(i | t)  temp = (temp + dfs(bit - 1, is_1 && (i == k1), is_2 && (t == k2), 0)) % mod;
            }
            else{
                temp = (temp + dfs(bit - 1, is_1 && (i == k1), is_2 && (t == k2), 0)) % mod;
            }
        }
    return dp[bit][is_1][is_2][ok] = temp;
}

int main(){
    scanf("%d", &T);
    while(T--){
    	int ans = 0;
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        scanf("%d%d", &x, &y);
        int a = x, b = y, da = -1, db = -1;
        for(; a; a >>= 1)  ++da;
        for(; b; b >>= 1)  ++db;
        for(int i = max(da, db); i >= 0; --i){
            // 因为正在统计第i位的答案，只有两数之|在第i位为1才有贡献，所以ok=1
            ans = (ans + 1LL * dfs(i, i >= da, i >= db, 1) * (i + 1)) % mod;
        }
        printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}