Solution -「九省联考 2018」IIIDX

Description

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给出一个堆，然后让你填数进去，使得其满足小根堆的性质，并使编号靠前的点的数最大。

Solution

考虑贪心，把原数列降序排序，然后因为这个东西是整除分块的形式，所以一个结点的子树一定对应的是原序列的一个子区间。不过这个东西并不能用根号分治来做。

然后对于一个子树的根 \(u\)，我们给他 \([l,r]\) 这个区间，\(\text{subtree}(u)-\{u\}=a_{[l,r)}\)，结点 \(u=a_{r}\)，\([l,r]\) 按需分配，反正就优先队列维护就行了。

代码大概长成这样子：

void Search(int x) {
  for(int y in SonOf(x)) Search(y);
  if(x != VirtualRoot) {
    ans[x] = PriorityQueue.top();
    PriorityQueue.pop();
  }
}

那个 VirtualRoot 是为了编码方便弄出来的一个虚根，不用管。同时发现这个做法只有在 \(\forall i,j,s.t.d_{i}\neq d_{j}\) 的时候才是对的。Hack 数据网上找找应该有。

对于一个与 \(u\) 同层的结点，可能会出现这个结点与 \(u\) 的儿子交换点权后更优的情况。

对值域 \([1,n]\) 建出一棵线段树，同时定义 \(pos_{i}\) 为 \(\max\{j\mid a_{i}=a_{i+1}=\cdots=a_{j}\}\)。然后每次查找能用的个数不小于该结点子树大小的位置，有多解跑到最右边，然后把这个位置的能用个数减去子树大小。描述的不清楚，建议做代码阅读理解领略一下精神。

#include<bits/stdc++.h>
struct node
{
	int mn,tag;
	node(int A=0,int B=0)
	{
		mn=A;
		tag=B;
	}
}nodes[2000010];
std::vector<std::vector<int> > e;
int n,siz[500010],ans[500010];
double k;
void dfs(int x)
{
	siz[x]=1;
	for(int i=0;i<int(e[x].size());++i)
	{
		int y=e[x][i];
		dfs(y);
		siz[x]+=siz[y];
	}
}
void build(int l,int r,int x)
{
	if(l^r)
	{
		int mid=(l+r)>>1;
		build(l,mid,x<<1);
		build(mid+1,r,x<<1|1);
		nodes[x].mn=std::min(nodes[x<<1].mn,nodes[x<<1|1].mn);
	}
	else	nodes[x].mn=l;
}
void push_down(int x)
{
	if(nodes[x].tag)
	{
		int &cur=nodes[x].tag;
		nodes[x<<1].mn+=cur;
		nodes[x<<1|1].mn+=cur;
		nodes[x<<1].tag+=cur;
		nodes[x<<1|1].tag+=cur;
		cur=0;
	}
}
void ins(int l,int r,int x,int fr,int ba,int delta)
{
	if(l>ba || r<fr)	return;
	if(l>=fr && r<=ba)
	{
		nodes[x].mn+=delta;
		nodes[x].tag+=delta;
	}
	else
	{
		int mid=(l+r)>>1;
		push_down(x);
		ins(l,mid,x<<1,fr,ba,delta);
		ins(mid+1,r,x<<1|1,fr,ba,delta);
		nodes[x].mn=std::min(nodes[x<<1].mn,nodes[x<<1|1].mn);
	}
}
int find(int l,int r,int x,int d)
{
	if(l^r)
	{
		int mid=(l+r)>>1;
		push_down(x);
		if(d<=nodes[x<<1|1].mn)	return find(l,mid,x<<1,d);
		else	return find(mid+1,r,x<<1|1,d);
	}
	else	return l+(nodes[x].mn<d);
}
int getDiv(int x,double k)
{
	return int(std::floor(double(x)/k));
}
int main()
{
	scanf("%d %lf",&n,&k);
	e.resize(n+1);
	std::vector<int> a(n+10),pos(n+10);
	for(int i=1;i<=n;++i)	scanf("%d",&a[i]);
	std::sort(a.begin()+1,a.begin()+n+1,std::greater<int>());
	for(int i=n-1;i;--i)
	{
		if(a[i]==a[i+1])	pos[i]=pos[i+1]+1;
	}
	for(int i=1;i<=n;++i)	e[getDiv(i,k)].emplace_back(i);
	dfs(0);
	build(1,n,1);
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		if(getDiv(i,k)^getDiv(i-1,k))	ins(1,n,1,ans[getDiv(i,k)],n,siz[getDiv(i,k)]-1);
		int tmp=find(1,n,1,siz[i]);
		tmp+=pos[tmp];
		++pos[tmp];
		tmp-=pos[tmp]-1;
		ans[i]=tmp;
		ins(1,n,1,tmp,n,-siz[i]);
	}
	for(int i=1;i<=n;++i)	printf("%d ",a[ans[i]]);
	return 0;
}