题目大意

给一个无向图,包含 N 个点和 M 条边,问最少删掉多少条边使得图分为不连通的两个部分,图中有重边

数据范围:2<=N<=500, 0<=M<=N*(N-1)/2

做法分析

典型的无向图全局最小割,使用 Stoer-Wagner 算法

Stoer-Wagner 算法共执行 n-1 次 BFS,每次 BFS 得到一个当前图的最小 S-T 割,并且将最后 BFS 的两个点缩点,n-1 次 BFS 得到 n-1 个最小 S-T 割中的最小者就是整个无向图的全局最小割,为了讲述每次 BFS 执行的操作,先进行如下定义:

  令 g[i][j] 表示边 (i, j) 的权值,对于无向图,我们有 g[i][j]=g[j][i]

  令 w[u] 表示 u 和已经被 BFS 过的点的关联度,即 w[u]=∑g[v][u] 其中,v 是已经被 BFS 过的点,u 是未被 BFS 的点。初始时,所有点的 w 值全部为 0

  令 vs[u] 表示 u 是否已经被 BFS 过,vs[u]=1 表示 u 已经被 BFS 过。初始时,所有点的 vs 值全部为 0

每次 BFS 按如下步骤执行:

  1. 选出未被 BFS 过的点中,关联度(w 值)最大的点(如果有多个,任选一个),设为 u。如果所有的点都已经被 BFS 过,则退出当前 BFS 过程

  2. 用 u 更新所有未被 BFS 的点的关联度,即: w[v]+=g[u][v],其中 v 没有被 BFS 过

  3. 将 u 设置为 BFS 过,即将 vs[u] 的值由 0 变为 1

  设倒数第 2 个被 BFS 的点为 S,倒数第 1 个被 BFS 的点为 T,那么,w[T] 就是本次 BFS 得到的最小 S-T 割

每次 BFS 后,将最后 BFS 的两个点 S 和 T 缩成一个点 u,即:g[i][u]=g[i][S]+g[i][T]

每次 BFS 后,用得到的最小 S-T 割更新全局的最小割

n-1 次 BFS 后,全局最小割求出来了,图也被缩成了一个点

下面是一个例子

假设在进行 BFS 时有一个无向图如下:

图中,括号中的数字表示每个点的 w 值,初始化为 0,边上的值表示边权。现在选择一个具有最大关联度(w 值最大)的点,有多种选择时随意选取一个点,假设选取的是第 2 个点,将它标记为已经访问过的点,并更新其他未被访问过的点的关联度:

现在,第 3 个点的关联度最大,选它作为下一个 BFS 的点,将它标记为已经访问过的点,并用它更新其他未被访问过的点的关联度:

第 4 个点的关联度最大,选其作为下一个 BFS 的点,将它标记为已经访问过的点,并更新其他未被访问过的点的关联度:

第 7 个点的关联度最大,选其作为下一个 BFS 的点,将它标记为已经访问过的点,并更新其他未被访问过的点的关联度:

第 8 个点的关联度最大,选其作为下一个 BFS 的点,将它标记为已经访问过的点,并更新其他未被访问过的点的关联度:

第 6 个点的关联度最大,选其作为下一个 BFS 的点,将它标记为已经访问过的点,并更新其他未被访问过的点的关联度:

第 5 个点的关联度最大,选其作为下一个 BFS 的点,将它标记为已经访问过的点,并更新其他未被访问过的点的关联度:

第 1 个点的关联度最大,选其作为下一个 BFS 的点,将它标记为已经访问过的点,并更新其他未被访问过的点的关联度:

至此,所有的点都被 BFS 了一遍,最后访问的点是 1,倒数第二访问的点是 5:

那么,我们这次 BFS 的 S 点是 5,T 点是 1,这次 BFS 得到的最小 S-T 割为 w[T]=5(上图中绿色的点)

将 S 点和 T 点合并:

得到新图:

将所有的标记(包括关联度,是否访问过)清空,进行下一次 BFS ,直至所有的点缩成一个点为止:

这样,经过 n-1 次 BFS 之后,整个无向图的全局最小割就求出来了

时间复杂度不难分析:o(n^3)

但是,我想,如果在每次 BFS 的时候,就像 Dijkstra 一样用堆优化,应该可以把复杂度降低到 o(n^2log2(n))

详细证明,请看 A Simple Min-Cut Algorithm

参考代码

 #include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring> using namespace std; struct Stoer_Wagner {
static const int N=, INF=(<<);
int G[N][N], W[N], Merge[N], S, T, minCut, n;
bool vs[N]; void init(int _n) {
n=_n;
memset(G, , sizeof G);
} void BFS() {
memset(vs, , sizeof vs);
memset(W, , sizeof W);
S=T=-;
int Max, id;
for(int cnt=; cnt<n; cnt++) {
Max=-INF;
for(int i=; i<n; i++)
if(!Merge[i] && !vs[i] && W[i]>Max)
Max=W[i], id=i;
if(id==T) return;
S=T, T=id;
minCut=Max;
vs[id]=;
for(int i=; i<n; i++) {
if(Merge[i] || vs[i]) continue;
W[i]+=G[id][i];
}
}
} int StoerWagner() {
memset(Merge, , sizeof Merge);
int ans=INF;
for(int cnt=; cnt<n; cnt++) {
BFS();
if(minCut<ans) ans=minCut;
if(ans==) return ans;
Merge[T]=;
for(int i=; i<n; i++) {
if(Merge[i]) continue;
G[S][i]+=G[T][i];
G[i][S]+=G[i][T];
}
}
return ans;
}
}; Stoer_Wagner fuck;
int n, m; int main() {
while(scanf("%d%d", &n, &m)!=EOF) {
fuck.init(n);
for(int i=, a, b, c; i<m; i++) {
scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
fuck.G[a][b]+=c;
fuck.G[b][a]+=c;
}
printf("%d\n", fuck.StoerWagner());
}
return ;
}

ZOJ 2753

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