BZOJ3738 : [Ontak2013]Kapitał

$C_{N+M}^N=\frac{(N+M)!}{N!M!}$

考虑求出$ans\bmod 10^9$的值

$10^9=2^9\times5^9$

以$2^9$为例，先预处理出$1$..$2^9$中不是2的倍数的数的前缀积s[]，显然$n!\bmod 2^9$有着长度为$2^9$的循环节

将答案表示成$a\times2^b$的形式，$a$与$2^9$互质，可以直接逆元，b直接相减即可

cal(n).a=s[n%512]*pow(s[512],n/512)*cal(n/2).a

cal(n).b=n/2+cal(n/2).b

如此递归计算即可

答案中末尾0的个数为min(2的个数,5的个数)

以$2^9$为例，除以10相当于乘上5的逆元，同时2的个数减1

分别算出答案后再用中国剩余定理合并即可

#include<cstdio>
typedef long long ll;
ll n,m,k,x,y,P,B,s[2000000],res[2],del,ans,i,T=1;
ll exgcd(ll a,ll b){
  if(!b)return x=1,y=0,a;
  ll d=exgcd(b,a%b),t=x;
  return x=y,y=t-a/b*y,d;
}
ll rev(ll a,ll P){exgcd(a,P);while(x<0)x+=P;return x%P;}
ll pow(ll a,ll b,ll P){ll t=1;for(;b;b>>=1LL,a=a*a%P)if(b&1LL)t=t*a%P;return t;}
struct Num{
  ll a,b;
  Num(){a=1,b=0;}
  Num(ll _a,ll _b){a=_a,b=_b;}
  Num operator*(Num x){return Num(a*x.a%P,b+x.b);}
  Num operator/(Num x){return Num(a*rev(x.a,P)%P,b-x.b);}
}now[2];
Num cal(ll n){return n?Num(s[n%P]*pow(s[P],n/P,P)%P,n/B)*cal(n/B):Num(1,0);}
void pre(){for(i=s[0]=1;i<P;i++)if(i%B)s[i]=s[i-1]*i%P;else s[i]=s[i-1];s[P]=s[P-1];}
int main(){
  scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&k);
  while(k--)T*=10;
  B=2,P=512,pre();
  now[0]=cal(n+m)/cal(n)/cal(m);
  del=now[0].b;
  B=5,P=1953125,pre();
  now[1]=cal(n+m)/cal(n)/cal(m);
  if(del>now[1].b)del=now[1].b;
  while(del--)P=512,now[0]=now[0]/Num(5,1),P=1953125,now[1]=now[1]/Num(2,1);
  B=2,P=512,res[0]=now[0].a*pow(B,now[0].b,P)%P;
  B=5,P=1953125,res[1]=now[1].a*pow(B,now[1].b,P)%P;
  ans=(1953125LL*rev(1953125,512)%T*res[0]%T+512LL*rev(512,1953125)%T*res[1]%T)%T;
  while(ans*10<T)putchar('0'),T/=10;
  return printf("%lld",ans),0;
}