#10470. 「2020-10-02 提高模拟赛」流水线 (line)

题面：#10470. 「2020-10-02 提高模拟赛」流水线 (line)

题目中的那么多区间的条件让人感觉极其难以维护，而且贪心的做法感觉大多都能 hack 掉，因此考虑寻找一些性质，然后再设计 DP 状态。

设两端区间\(Q_i\)和\(Q_j\)满足\(Q_i \subseteq Q_j\)，那么显然\(Q_j\)要么单独一组，要么就和\(Q_i\)一组。

证明使用反证法，设\(Q_j\)与其他某些一组，那么我把\(Q_j\)放入\(Q_i\)那一组，显然两组的答案都不会变少。

因此我们认为\(Q_j\)这一段无用了，当且仅当它单独一组时我们再计算它的贡献\(t_j-s_j\)。剩下的区间显然满足性质：左端点与右端点分别递增，于是就可以 DP 了。设\(f_{i,j}\)为前\(i\)个区间分成了\(j\)组后最大的收获，状态转移方程：

\[f_{i,j}==\min_{k<i,t_{k+1}>s_i}{f_{k,j-1}+t_{k+1}-s_i}
\]

正确性来源于这些区间的并就等于\([s_i,t_{k+1}]\)，使用单调队列优化可以实现\(\Theta(n^2)\)。最后枚举一下我选几个之前不要的那种大区间，从大到小枚举，就可以了。

然后就不得不提这题实现的诸多细节了，因为我们要保证答案更新时一定是从合法的值更新，所以\(f\)数组的初值统统要设为负无穷，可以避免非常多的细节，还有f[0][0]=0那一句其实是最妙的，能够解决很多初值的问题。

memset(f, -127 / 3, sizeof f);
f[0][0] = 0;
for (int i = 1; i <= k; i++)
{
	q[head = tail = 1] = i - 1;
	for (int j = i; j <= cnt; j++)
	{
		while (t[nw[q[head] + 1]] <= s[nw[j]] && head <= tail)
		{
			head++;
		}
		f[j][i] = f[q[head]][i - 1] + t[nw[q[head] + 1]] - s[nw[j]];
		while (head <= tail && f[j][i - 1] + t[nw[j + 1]] >= f[q[tail]][i - 1] + t[nw[q[tail] + 1]])
		{
			tail--;
		}
		q[++tail] = j;
	}
}
LL ans = 0, now = 0;
for (int i = 0; i <= k; i++)
{
	if (f[cnt][k - i])
		ans = max(ans, now + f[cnt][k - i]);
	if (hp.empty()) break;
	now += hp.top(); hp.pop();
}