MT【128】不动点指路

已知数列\(\{a_n\}\)满足\(2a_{n+1}=1-a_n^2\)，且\(0<a_1<1\)．求证：当\(n\geqslant 3\) 时，\(\left|\dfrac{1}{a_n}-\left(\sqrt 2+1\right)\right|<\dfrac{12}{2^n}\)．

解答:
设迭代函数\(f(x)=\dfrac 12\left(1-x^2\right)\)，那么函数的不动点为\(x=\sqrt 2-1\)，一个保值区间是\(\left[0,\dfrac 12\right]\)．
考虑到\(0<a_1<1\)，于是\(0<a_2<\dfrac 12\)，从而\(\dfrac 38<a_3<\dfrac 12\)．
由不动点改造递推数列得\[|a_{n+1}-(\sqrt 2-1)|=\dfrac 12|a_n-(\sqrt 2-1)|\cdot|a_n+\sqrt 2-1|<\dfrac 12|a_n-(\sqrt 2-1)|,\]又当\(n=3\) 时，\(|a_3-(\sqrt 2-1)|<\dfrac 18\)，于是当\(n\geqslant 3\)时，有\[\left|a_n-\left(\sqrt 2-1\right)\right|<\dfrac{1}{2^n}.\] 而欲证明不等式即\[\left|\dfrac{\left(\sqrt 2-1\right)-a_n}{a_n\left(\sqrt 2-1\right)}\right|<\dfrac{12}{2^n},\]于是只需要证明\[\left|a_n\left(\sqrt 2-1\right)\right|>\dfrac{1}{12},\]也即\[a_n>\dfrac{\sqrt 2+1}{12},n\geqslant 3.\]事实上，当\(n\geqslant 3\) 时，有\[a_n>\dfrac 38>\dfrac{\sqrt 2+1}{12},\]于是原命题得证．

评:此类不动点题型，在做之前就有一个潜台词：\(a_n\)的范围可以通过作图可以做题前得到,后面问你的东西可以由这个潜台词去构造。