【纪中集训2019.3.11】Cubelia

题目：

描述

给出长度为\(n\)的数组\(a\)和\(q\)个询问\(l,r\)。

求区间\([l,r]\)的所有子区间的前缀和的最大值之和；

范围：

$n \le 2 \times 10^5 , q \le 10^7 $；

数据给出的\(S,A,B,P\)参数随机生成，附加文件给出数据生成器；

保证任意一个连续子序列的最大前缀和不超过\(10^6\) ;

题解：

• Part1

• \([1,l-1]\)的\(a_{i}\)对区间\([l,r]\)的前缀和的大小是没用影响的，所以直接算答案就是；

\[记sum_{i} = \sum_{j=1}^{i}a_{i} \\
\begin{align} ans_{l,r} = \sum_{i=l}^{r}\sum_{j=i}^{r} max^{j}_{k=i}\{sum_{k}\} - \sum_{i=l-1}^{r-1} sum_{i}(r-i) \end{align}
\]

• 考虑如何求区间连续子序列最大值之和；

• \(kczno1\)的做法： https://loj.ac/article/489

• 一个奇葩做法：

• 对\(sum\)建出笛卡尔树，考虑一个节点的有效区间是\([l_{i},r_{i}]\)；

• 预先处理出每个点的贡献:\(s_{i} = (i - l_{i}+1) \ (r_{i} - i + 1)\) ;

• 考虑直接求\(\sum_{i=l}^{r}s_{i}\)多算了什么，多算的部分其实就是\(l_{i}\)超出\(l\)或者\(r_{i}\)\(超出\)r​$的情况；

• 记\(u为l的祖先且u>l，v为r的祖先且v<r ， w = lca(l,r)\);

• 多算的部分就是：$\sum_{u=l}^{u<w} (l-l_{u})(r_{u}-u+1) + \sum_{v=r}^{v>w} (r-r_{v})(v-l_{v}+1) $

• 这个式子可以在笛卡尔的左树和右树上处理一下前缀；

• 注意在\(w\)的时候（也就是区间最值的位置）\(u\)和\(v\)都会超出，特判一下即可；

• Part2 \(\pm rmq\)

• 标算需要一个\(O(1)\)的\(rmq\) ，(我没写这个，卡一卡常数也可以过的);

• 区间最值问题可以通过笛卡尔树转化成\(lca\);

• 注意到\(lca\)的\(rmq\)相邻的值相差为\(1或-1\)

• 对序列分块令分块大小\(B = \frac{log \ n}{2}\)，差分后\(2^B B^2\)处理所有本质不同的块的区间最值的位置；

• 对\(\frac{n}{B}\)个块做\(rmq\), 整块直接\(O(1)\)查询rmq​$，散块调用预处理的块内最值；

• 复杂度是：\(O(\sqrt{n}log^2n \ + \ n ) = O(n)\) ；

  #include <bits/stdc++.h>
  #define ll long long
  #define mod 998244353
  #define inf 1e18
  #define il inline
  #define rg register
  using namespace std;
  inline int R() {
      int rt = 0;
      char ch = getchar();
      bool isn = false;
      for (; ch < '0' || ch > '9'; ch = getchar()) isn = ch == '-' ? true : isn;
      for (; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar()) rt = rt * 10 + ch - '0';
      return isn ? -rt : rt;
  }
  const int N=2000010;
  ll a[2000007];
  int n, q, ans;
  int S, A, B, P, tp;
  long long lastans;
  inline int Rand() {
      S = (S * A % P + (B ^ (tp * lastans))) % P;
      S = S < 0 ? -S : S;
      return S;
  }
  int f[N][21],bin[21],rt,lg[N],le[N],ri[N],ls[N],rs[N];
  ll fl[N],Ls1[N],Ls2[N],fr[N],Rs1[N],Rs2[N];
  ll S1[N],S2[N],s[N];
  int sta[N],top;
  il int Max(int x,int y){
  	if(a[x]==a[y])return x>y?x:y;
  	return a[x]>a[y]?x:y;
  }//
  il int ask(int x,int y){
  	int t = lg[y - x + 1];
  	return Max(f[x][t], f[y-bin[t]+1][t]);
  }//
  il void dfs1(int k){
  	le[k]=ri[k]=k;
  	if(ls[k])dfs1(ls[k]),le[k]=le[ls[k]];
  	if(rs[k])dfs1(rs[k]),ri[k]=ri[rs[k]];
  }
  il void dfs2(int k){
  	s[k] = (ll)(k - le[k] + 1)*(ri[k] - k + 1)*a[k];
  
  	int t = fl[k] ; ll x = a[k]*(k-le[k]+1);
  	Ls1[k] = Ls1[t] + x;
  	Ls2[k] = Ls2[t] + x*ri[k];
  	//
  	t = fr[k]; x = a[k]*(ri[k]-k+1);
  	Rs1[k] = Rs1[t] + x;
  	Rs2[k] = Rs2[t] + x*le[k];
  	//
  	if(ls[k]){
  		fr[ls[k]]=k;
  		fl[ls[k]]=fl[k];
  		dfs2(ls[k]);
  	}
  	if(rs[k]){
  		fl[rs[k]]=k;
  		fr[rs[k]]=fr[k];
  		dfs2(rs[k]);
  	}
  }//
  il void pre_solve(){
  	for(rg int i=bin[0]=1;i<=20;++i)bin[i]=bin[i-1]<<1;
  	for(rg int i=1;i<=n;++i){
  		a[i] += a[i-1];
  		S1[i] = S1[i-1] + a[i];
  		S2[i] = S2[i-1] + a[i]*i;
  	}
  	lg[0]=-1;a[0]=-inf;
  	for(rg int i=1;i<=n;++i)f[i][0]=i,lg[i]=lg[i>>1]+1;
  	for(rg int i=1;i<=20;++i)
  	for(rg int j=1;j+bin[i]-1<=n;++j){
  		f[j][i] = Max(f[j][i-1], f[j+bin[i-1]][i-1]);
  	}
  	for(int i=1;i<=n;++i){
  		while(top&&Max(sta[top],i)==i)ls[i]=sta[top--];
  		if(top)rs[sta[top]]=i;
  		sta[++top]=i;
  	}
  	rt = sta[1];
  	dfs1(rt);
  	dfs2(rt);
  	for(rg int i=1;i<=n;++i)s[i]+=s[i-1];
  }//
  il ll cal1(int l,int r){
  	l = max(2, l);
  	return r * (S1[r-1] - S1[l-2]) - (S2[r-1] - S2[l-2]) ;
  }//
  il ll cal2(int l,int r){
  	int t = ask(l,r);
  	ll re = (s[r]-s[l-1]) - (ll)(t - le[t] + 1) * (ri[t] - t + 1) * a[t] + (ll)(t - l + 1) * (r - t + 1) * a[t] ;
  	re -= l * (Rs1[l] - Rs1[t]) - (Rs2[l] - Rs2[t]);
  	re -= (Ls2[r] - Ls2[t]) - r * (Ls1[r] - Ls1[t]);
  	return re;
  }//
  il long long solve(int l, int r){
  	return cal2(l, r)-cal1(l, r);
  }//
  int main() {
      freopen("cubelia.in", "r", stdin);
      freopen("cubelia.out", "w", stdout);
      n=R(),q=R();
      for(rg int i=1;i<=n;++i)a[i]=R();
      S=R(),A=R(),B=R(),P=R(),tp=R();
      pre_solve();
      for (;q;--q){
          int l=Rand()%n+1,r=Rand()%n+1;
  		if (l>r)swap(l,r);
          lastans=solve(l,r);
      	ans=(ans+lastans%mod)%mod;
  	}
  	cout<<(ans+mod)%mod<<endl;
      return 0;
  }//