LG4454 【[CQOI2018]破解D-H协议】

先谈一下BSGS算法（传送门）

但是上面这位的程序实现比较繁琐，看下面这位的。

clover_hxy这样说

bsgs算法，又称大小步算法（某大神称拔山盖世算法）。

主要用来解决 A^x=B(mod C)(C是质数)，都是整数，已知A、B、C求x。（poj 2417 Discrete Logging）

具体步骤如下：

先把x=i*m-j，其中m=ceil(sqrt(C))，（ceil是向上取整）。

这样原式就变为A^(i*m-j)=B(mod C)，

再变为A^j×B=A(m*i) (mod C)。

枚举j(范围0-m),将A^j×B存入hash表

枚举i(范围1-m),从hash表中寻找第一个满足A^j×B=A(m*i) (mod C)。

此时x=i*m-j即为所求。

在网上看到的其他题解大多用的是x=i*m+j，也可以做，只是会牵扯的求逆元，所以比较麻烦。使x=i*m-j就可以轻松避免这个问题了。

那么肯定有人会有疑问为何只计算到m=ceil(sqrt(C))就可以确定答案呢？

x=i*m-j 也就是x 的最大值不会超过p,那超过p的怎么办 ？

有一个公式 a^(k mod p-1)=a^k (mod p) 这个公式的推导需要用到费马小定理

k mod p-1可以看做 k-m（p-1） ,原式可化成 a^k/(a(p-1))^m=ak (mod p)

根据费马小定理 a^(p-1)=1 (mod p) 其中p为质数 ，a,p 互质，可得a^k/1m=a^k (mod p) a^k=ak (mod p) 得证。

分析此题

实际上就是求 g^a = A (mod p) 中的a，于是顺利套出模板

注意，能少用pow我们就少用，尽量减少常数。本来就用了map，到时候被卡常就尴尬了

这题就等于模板题，没有什么特殊的需要处理

#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<ctime>
#include<iostream>
#include<string>
#include<vector>
#include<list>
#include<deque>
#include<stack>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<algorithm>
//#pragma GCC optimize(2)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int INF=0x7fffffff;
template<class T> inline T read(T&x){
    T data=0;
	int w=1;
    char ch=getchar();
    while(ch!='-'&&!isdigit(ch))
        ch=getchar();
    if(ch=='-')
        w=-1,ch=getchar();
    while(isdigit(ch))
        data=10*data+ch-'0',ch=getchar();
    return x=data*w;
}
ll g,p,bl,A,B;
map <ll,ll> mp;

int pow1(ll x,ll k){
	ll ans=1;
	while(k>0)
	{
		if(k&1)
			ans=(ans*x)%p;
		x=(x*x)%p;
		k>>=1;
	}
	return ans;
}

void init()
{
	bl=ceil(sqrt(p));
	ll cur=pow1(g,bl),ans=cur;
	mp[ans]=bl;
	for(ll i=2;i<=bl;++i)
	{
		ans=(ans*cur)%p;
		mp[ans]=i*bl;
	}
}

ll BSGS(ll x)
{
	ll j=0,cur=1;
	for(;j<=bl;++j)
	{
		if(mp[(cur*A)%p])
			return mp[(cur*A)%p]-j;
		cur=(cur*g)%p;
	}
}

int main()
{
//  freopen(".in","r",stdin);
//  freopen(".out","w",stdout);
	read(g);
	read(p);
	init();
	ll n;
	read(n);
	while(n--)
	{
		read(A);
		read(B);
		printf("%lld\n",pow1(B,BSGS(A)));
	}
//  fclose(stdin);
//  fclose(stdout);
    return 0;
}