Memory and Casinos CodeForces - 712E (概率,线段树)

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题目大意:$n$个点, 每个点$i$有成功率$p_i$, 若成功走到$i+1$, 否则走到走到$i-1$, 多组询问, 求从$l$出发, 在$l$处不失败, 最后在$r$处胜利的概率

设$L[l,r]$表示从$l$出发, 在$l$处不失败, 最后在$r$处胜利的概率,$R[l,r]$表示从$r$出发, 在$l$处不失败, 最后在$r$处胜利的概率

记$l_1=L[l,mid],r_1=L[mid+1,r],l_2=R[l,mid],r_2=R[mid+1,r].$

枚举在$mid$到$mid+1$之间往返的次数, 可以得到下式

$$L[l,r]=l_1l_2\sum\limits_{n=0}^\infty{(1-l_2)^nr_1^n}=\frac{l_1l_2}{1-(1-l_2)r_1}$$

$$R[l,r]=r_2+(1-r_2)r_1l_2\sum\limits_{n=0}^\infty{(1-l_2)^nr_1^n}$$

$$=r_2+(1-r_2)\frac{r_1l_2}{1-(1-l_2)r_1}$$

直接用线段树维护就好了

还有另外一种做法, 考虑询问$[l,r]$

设$f_i$表示从$i$走到$r$且在$r$处胜利的概率, 则答案即为$f_l$

规定$f_{l-1}=0,f_{r+1}=1$ 就有$f_i=(1-p_i)f_{i-1}+p_if_{i+1}$

即$f_i-f_{i-1}=p_i(f_{i+1}-f_{i-1})$

令$g_i=f_i-f_{i-1}$ 则有$g_i=p_i(g_{i+1}-g_{i})$

记$a_i=\frac{1}{p_i}-1,$ 可以得到$g_{i+1}=a_ig_i$

由于$\sum_{i=l}^{r+1}{g_i}=1$

所以就可以得到$f_l=g_l=\frac{1}{1+a_l+a_la_{l+1}+...+a_la_{l+1}\cdot \cdot \cdot a_{r}}$

记$A[l,r]=\prod_{i=l}^{r}{a_i}, B[l,r]=\sum_{i=l}^{r}{A_i}$

有$$A[l,r]=A[l,mid]A[mid+1,r]$$

$$B[l,r]=B[l,mid]+A[l,mid]B[mid+1,r]$$

线段树维护$A,B$即可

第一种代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <math.h>
#include <cstdio>
#define REP(i,a,n) for(int i=a;i<=n;++i)
#define mid ((l+r)>>1)
#define lc (o<<1)
#define rc (lc|1)
#define ls lc,l,mid
#define rs rc,mid+1,r
using namespace std;

const int N = 1e5+;
int n, m;
struct _ {
    double L, R;
    _ () {}
    _ (int x, int y) {L=R=(double)x/y;}
    _ (double l,double r) :L(l),R(r) {}
    _ operator + (const _ &rhs) const {
        return _(L*rhs.L/(-(-rhs.L)*R),rhs.R+(-rhs.R)*R*rhs.L/(-(-rhs.L)*R));
    }
} v[N<<];

void build(int o, int l, int r) {
    if (l==r) {
        int x, y;
        scanf("%d%d", &x, &y);
        v[o]=_(x,y);
        return;
    }
    build(ls),build(rs),v[o]=v[lc]+v[rc];
}

void upd(int o, int l, int r, int pos, int x, int y) {
    if (l==r) return v[o]=_(x,y),void();
    if (mid>=pos) upd(ls,pos,x,y);
    else upd(rs,pos,x,y);
    v[o]=v[lc]+v[rc];
}

_ qry(int o, int l, int r, int ql, int qr) {
    if (ql<=l&&r<=qr) return v[o];
    if (mid<ql) return qry(rs,ql,qr);
    if (mid>=qr) return qry(ls,ql,qr);
    return qry(ls,ql,qr)+qry(rs,ql,qr);
}

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    build(,,n);
    REP(i,,m) {
        int op, pos, a, b;
        scanf("%d", &op);
        if (op==) {
            scanf("%d%d%d", &pos, &a, &b);
            upd(,,n,pos,a,b);
        } else {
            scanf("%d%d", &a, &b);
            printf("%.12lf\n", qry(,,n,a,b).L);
        }
    }
}

第二种完全类似, 改下公式就行了

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <math.h>
#include <cstdio>
#define REP(i,a,n) for(int i=a;i<=n;++i)
#define mid ((l+r)>>1)
#define lc (o<<1)
#define rc (lc|1)
#define ls lc,l,mid
#define rs rc,mid+1,r
using namespace std;

const int N = 1e5+;
int n, m;
struct _ {
    double A, B;
    _ () {}
    _ (int x, int y) {A=B=(double)y/x-;}
    _ (double a,double b) :A(a),B(b) {}
    _ operator + (const _ &rhs) const {
        return _(A*rhs.A,B+A*rhs.B);
    }
} v[N<<];

void build(int o, int l, int r) {
    if (l==r) {
        int x, y;
        scanf("%d%d", &x, &y);
        v[o]=_(x,y);
        return;
    }
    build(ls),build(rs),v[o]=v[lc]+v[rc];
}

void upd(int o, int l, int r, int pos, int x, int y) {
    if (l==r) return v[o]=_(x,y),void();
    if (mid>=pos) upd(ls,pos,x,y);
    else upd(rs,pos,x,y);
    v[o]=v[lc]+v[rc];
}

_ qry(int o, int l, int r, int ql, int qr) {
    if (ql<=l&&r<=qr) return v[o];
    if (mid<ql) return qry(rs,ql,qr);
    if (mid>=qr) return qry(ls,ql,qr);
    return qry(ls,ql,qr)+qry(rs,ql,qr);
}

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    build(,,n);
    REP(i,,m) {
        int op, pos, a, b;
        scanf("%d", &op);
        if (op==) {
            scanf("%d%d%d", &pos, &a, &b);
            upd(,,n,pos,a,b);
        } else {
            scanf("%d%d", &a, &b);
            printf("%.12lf\n", /(+qry(,,n,a,b).B));
        }
    }
}