【BZOJ2658】[Zjoi2012]小蓝的好友(mrx) 平衡树维护笛卡尔树+扫描线

【BZOJ2658】[Zjoi2012]小蓝的好友(mrx)

Description

终于到达了这次选拔赛的最后一题，想必你已经厌倦了小蓝和小白的故事，为了回馈各位比赛选手，此题的主角是贯穿这次比赛的关键人物——小蓝的好友。

在帮小蓝确定了旅游路线后，小蓝的好友也不会浪费这个难得的暑假。与小蓝不同，小蓝的好友并不想将时间花在旅游上，而是盯上了最近发行的即时战略游戏——SangoCraft。但在前往通关之路的道路上，一个小游戏挡住了小蓝的好友的步伐。

“国家的战争其本质是抢夺资源的战争”是整款游戏的核心理念，这个小游戏也不例外。简单来说，用户需要在给定的长方形土地上选出一块子矩形，而系统随机生成了N个资源点，位于用户所选的长方形土地上的资源点越多，给予用户的奖励也越多。悲剧的是，小蓝的好友虽然拥有着极其优秀的能力，但同时也有着极差的RP，小蓝的好友所选的区域总是没有一个资源点。

终于有一天，小蓝的好友决定投诉这款游戏的制造厂商，为了搜集证据，小蓝的好友想算出至少包含一个资源点的区域的数量。作为小蓝的好友，这自然是你分内之事。

Input

 每个输入文件中仅包含一个测试数据。

第一行包含两个由空格隔开的正整数R,C,N，表示游戏在一块[1,R]X[1,C]的地图上生成了N个资源点。

     接下来有N行，每行包含两个整数 x,y，表示这个资源点的坐标

(1<=x<=R,1<=Y<=c)。

Output

      输出文件应仅包含一个整数，表示至少包含一个资源点的区域的数量。具体的说，设N个资源点的坐标为(i=1..n),你需要计算有多少个四元组(LB,DB,RB,UB)满足1<=LB<=RB<=R,1<=DB<=UB<=C，且存在一个i使得LB<=Xi<=RB,DB<=Yi<=UB均成立。

Sample Input

5 5 4
1 2
2 3
3 5
4 1

Sample Output

139

HINT

【数据范围】
对于100%的数据，R,C<=40000,N<=100000，资源点的位置两两不同，且位置为随机生成。

题解：第一思路一定是补集转化，我们改求不包含黑点的矩形个数。然后考虑枚举矩形的底边所在行，考虑这一行的贡献是什么。

我们将这一行中，每一列上面遇到的第一个黑点到这一行的距离定义为这一列的高度。然后我们对这一行中，所有列的高度建出一棵笛卡尔树。假设树上第i个节点的子树大小是siz[i]，高度是h[i]，那么这个点对答案的贡献就是${siz\times (siz+1) \over 2}\times(h[i]-h[fa])$。

这样做的复杂度是O(Rn)的。但是我们发现数据是随机的，随机数据有什么性质？随机序列的笛卡尔树的树高是O(logn)的，并且笛卡尔树其实是一棵Treap！所以我们可以考虑用Treap维护笛卡尔树。当我们向下平移一行时，首先所有点的高度+1，这个打标记就好；然后这一行可能冒出来一些黑点，我们将这些黑点旋转上来，然后将高度变成0即可。我们还要动态维护一下所有点的${siz\times (siz+1) \over 2}\times(h[i]-h[fa])$，这个比较麻烦，需要注意一下细节。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
const int maxn=100010;
typedef long long ll;
vector<int> px[maxn];
vector<int>::iterator it;
ll ans;
int R,C,n,rt;
struct node
{
	int ch[2],siz,fa,h,tag;
	ll sum;
}s[maxn];
inline ll c(const ll &x) {return x*(x+1)>>1;}
inline void add(int x,int y) {s[x].h+=y,s[x].tag+=y;}
inline void pushdown(int x)
{
	if(s[x].tag)
	{
		if(s[x].ch[0])	add(s[x].ch[0],s[x].tag);
		if(s[x].ch[1])	add(s[x].ch[1],s[x].tag);
		s[x].tag=0;
	}
}
inline void pushup(int x)
{
	s[x].siz=s[s[x].ch[0]].siz+s[s[x].ch[1]].siz+1;
	s[x].sum=s[s[x].ch[0]].sum+s[s[x].ch[1]].sum+c(s[x].siz)*(s[x].h-s[s[x].fa].h);
}
void updata(int x)
{
	if(x!=rt)	updata(s[x].fa);
	pushdown(x);
}
inline void rotate(int x)
{
	int y=s[x].fa,z=s[y].fa,d=(x==s[y].ch[1]);
	if(y==rt)	rt=x;
	else	s[z].ch[y==s[z].ch[1]]=x;
	s[x].fa=z,s[y].fa=x,s[y].ch[d]=s[x].ch[d^1];
	if(s[x].ch[d^1])	s[s[x].ch[d^1]].fa=y,pushdown(s[x].ch[d^1]),pushup(s[x].ch[d^1]);
	s[x].ch[d^1]=y;
	pushup(y),pushup(x);
}
int build(int l,int r)
{
	if(l>r)	return 0;
	int x=(l+r)>>1;
	s[x].ch[0]=build(l,x-1),s[x].ch[1]=build(x+1,r),s[x].siz=r-l+1;
	if(s[x].ch[0])	s[s[x].ch[0]].fa=x;
	if(s[x].ch[1])	s[s[x].ch[1]].fa=x;
	return x;
}
inline int rd()
{
	int ret=0,f=1;	char gc=getchar();
	while(gc<'0'||gc>'9')	{if(gc=='-')	f=-f;	gc=getchar();}
	while(gc>='0'&&gc<='9')	ret=ret*10+(gc^'0'),gc=getchar();
	return ret*f;
}
int main()
{
	R=rd(),C=rd(),n=rd();
	int i,a,b;
	for(i=1;i<=n;i++)	a=rd(),b=rd(),px[b].push_back(a);
	rt=build(1,R);
	for(i=C;i>=1;i--)
	{
		add(rt,1),pushup(rt);
		for(it=px[i].begin();it!=px[i].end();it++)
		{
			a=*it,updata(a);
			while(a!=rt)	rotate(a);
			s[a].h=0;
			if(s[a].ch[0])	pushdown(s[a].ch[0]),pushup(s[a].ch[0]);
			if(s[a].ch[1])	pushdown(s[a].ch[1]),pushup(s[a].ch[1]);
			pushup(a);
		}
		ans+=s[rt].sum;
	}
	printf("%lld",c(R)*c(C)-ans);
	return 0;
}