【Learning】多项式的相关计算

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约定的记号

　　

　　对于一个多项式$A(x)$，若其最高次系数不为零的项是$x^k$，则该多项式的次数为$k$.

　　

　　记为$deg(A)=k$.

　　

　　对于$x\in(k,+ \infty)$，称$x$都为$A(x)$的次数界. 但一般地，我们都使用$k+1$作为$A(x)$的次数界。

　　

　　

　　

取模意义下的多项式运算

　　

　　这里要消除一下疑惑，两个次数界为$n$的多项式在取模$x^n$意义下相乘，虽然NTT完了之后我们会得到一个次数界为$2n-1$的多项式，但是$x^n....x^{2n-1}$的系数是没有意义的。答案多项式就是$x^0...x^{n-1}$的系数描述的多项式。

　　

　　求分式同理，$\frac {F(x)}{G(x)}\pmod {x^n}$的答案多项式，就是$F(x)*G^{-1}(x)$的前$n$个系数描述的多项式。

　　

　　

　　

多项式加法减法乘法

　　

　　略去，加减为$\mathcal O(n)$系数运算，乘法用NTT在$\mathcal O(n\lg n)$内计算。

　　

　　

　　

多项式求逆

　　

　　已知次数界为$n$的多项式$A(x)$，求其在模$x^n$意义下的逆多项式$B(x)$，使得

\[\begin{equation} \label{eqn1} A(x)B(x)\equiv1 \pmod {x^n} \end{equation}
\]

　　其中，$B(x)$的次数小于等于$A(x)$的次数

　　

　　

　　

　　采用倍增思路向上倍增求解

　　

　　当$n=1$时，$A(x)$与$B(x)$仅有一个常数项，且$B(x)$的常数项为$A(x)$常数项的逆元。多项式有无逆元也取决于这个常数是否有逆元

　　

　　假设已经求得$A(x)$在模$x^{\lceil\frac n 2\rceil}$意义下的逆元$B'(x)$

\[\begin{equation} A(x)B'(x)=1 \pmod{x^{\lceil\frac n 2\rceil}} \end{equation}
\]

　　而$(1)$放在模$x^{\lceil\frac n 2\rceil}$意义下同样成立，有

\[\begin{equation} \label{eqn2} A(x)B(x)\equiv1 \pmod {x^{\lceil\frac n 2\rceil}} \end{equation}
\]

　　将$(3)-(2)$得到

\[\begin{equation} B(x)-B'(x)\equiv 0 \pmod {x^{\lceil\frac n 2\rceil}} \end{equation}
\]

　　平方得到

\[\begin{equation} B^2(x)-2B(x)B'(x)+B'^2(x)\equiv 0 \pmod {x^n} \end{equation}
\]

　　模数同时平方的原因是：原本多项式模$x^{\lceil\frac n 2\rceil}$为0，说明$0$~$\lceil\frac n 2\rceil-1$项的系数为0，平方后由于系数相乘，这些0系数会导致0~n-1项系数为0，也即模$x^n$为0

　　

　　两边同乘$A(x)$，消去$B(x)$并移项，得到

\[B(x) \equiv 2B'(x) - A(x)B'^2(x) \pmod {x^n}
\]

　　至此可以递归倍增求解，伪代码如下，忽略清零、取模操作：

　　

void polyInv(int *a,int *b,int n){ // a是要求逆元的多项式，b是在模x^n意义下的a的逆元

	if(n==1) 令b为一个次数为1,常数项为a[0]的逆元的多项式，返回;

  	polyInv(a,b,(n+1)>>1);

  	ntt_init(dega+degb+degb); //ntt长度

  	static int A[]=a,B[]=b; //临时数组，防止影响到传入的指针

  	ntt(A);

  	ntt(B);

  	for(int i=0;i<nttlen;i++)

    	A[i]=2*B[i]-A[i]*B[i]*B[i]; //点值计算

  	ntt(A,-1);

  	b=A;

}

　　

　　完整代码如下：

　　

void polyInv(int *a,int *b,int n){

	if(n==1){

		b[0]=fmi(a[0],MOD-2);

		return;

	}

	int m=(n+1)>>1;

	polyInv(a,b,m);

	NTT::init(2*m+n);

	static int ta[S],tb[S];

	for(int i=0;i<n;i++) ta[i]=a[i],tb[i]=b[i];

	for(int i=n;i<NTT::n;i++) ta[i]=tb[i]=0;//NTT前对后半也要清空

	NTT::ntt(ta,0);

	NTT::ntt(tb,0);

	for(int i=0;i<NTT::n;i++)

		ta[i]=(2LL*tb[i]-1LL*ta[i]*tb[i]%MOD*tb[i]%MOD)%MOD;

	NTT::ntt(ta,1);

	for(int i=0;i<n;i++) b[i]=ta[i];

}

　　

　　 Tips：调用整个递归之前需要清空$b$数组，否则$b$在赋值给$B$准备NTT时可能有处于$[(n+1)>>1,n)$中的杂乱数字，将影响NTT。或者每次递归完成后都清空一次也可以。总之记得清空无用数据。

　　

　　时间复杂度$O(n log n)$，不过我不知道怎么证。

　　

　　

　　

　　

　　

多项式除法及取模

　　

　　给定多项式$A(x)$和多项式$B(x)$，求两个多项式$D(x)$与$R(x)$，使得

\[\begin{equation} \label{1} A(x)=D(x)B(x)+R(x) \end{equation}
\]

　　其中，$deg(A)>=deg(B)$ , $deg(D)\leq deg(A)-deg(B)$，$deg(R)<deg(B)$

　　

　　

　　

　　除法用奇妙变化解决.

　　

　　引入一个操作：翻转操作. 对于一个次数为$n$的多项式$A(x)$，定义

\[A^R(x)=x^nA(\frac 1 x)
\]

　　会发现$A^R(x)$的系数相对于$A(x)$完全$reverse$了一下

　　

　　将$(1)$的$x$换成$\frac 1 x$，并两边同乘$x^n$，记$n=deg(A)$, $m=deg(B)$, $deg(D)=n-m$, $deg(R)=m-1$.

\[\begin{aligned}
x^nA(\frac1x)&=x^{n-m}D(\frac1x)x^mB(\frac1x)+x^{n-m+1}x^{m-1}R(\frac1x)\\
A^R(x)&=D^R(x)B^R(x)+x^{n-m+1}R^R(x)
\end{aligned}
\]

　　我们发现$D^R(x)$的次数仍然等于$n-m$，如果把上式放在模$x^{n-m+1}$意义下，我们会发现$D^R(x)$不会受到任何影响，而$x^{n-m+1}R^R(x)$被完全模掉了！

　　

　　于是

\[\begin{aligned}
A^R(x)&\equiv D^R(x)B^R(x)\pmod{x^{n-m+1}}\\
D^R(x)&\equiv A^R(x){B^R}^{-1}(x)\pmod{x^{n-m+1}}
\end{aligned}
\]

　　直接对$A$系数翻转，$B$系数翻转，求$B$的逆，$A$和$B$一乘，把结果的系数再次翻转，就是$D$了！

　　

void polyDiv(int *a,int *b,int *d){// a和b对应上文的A和B，d是上文的D，是答案

  	if(deg(a)<deg(b)) 令d为一个0多项式，返回;

	reverse(a);

  	reverse(b);

  	static int invb[];

  	polyInv(b,invb,deg(b)+1); //b次数界是deg(b)+1

  	d=a*invb;

  	reverse(d);

}

　　

　　如果你还要求$R(x)$，带回最初的式子直接算就好，多项式乘法用*直接代替了

　　

void polyMod(int *a,int *b,int *r){

  	if(deg(a)<deg(b)) 令r为a，返回;

  	static int d[];

  	polyDiv(a,b,d);

  	r=a-d*b;

}

多项式求$\ln$

　　

　　已知次数界为$n$的多项式$f(x)$，并知关系$f(x)=e^{g(x)}$。求未知多项式$g(x)=\ln f(x)$

　　

　　两边求导，得到

\[g'(x)=\frac {f'(x)}{f(x)}
\]

　　所以

\[g(x)=\int\frac{f'(x)}{f(x)}
\]

　　先对$f$求导（$\mathcal O(n)$），再与$f$的逆多项式相乘（都是$\mathcal O(n \lg n)$），对结果再积分（$\mathcal O(n)$），得到$g(x)$

　　

void polyDeri(int *a,int *b,int n){//计算一个次数界为n的多项式a的导数，放入b

	for(int i=0;i<n-1;i++) b[i]=1LL*(i+1)*a[i+1]%MOD;

	b[n-1]=0;

}

void polyInte(int *a,int *b,int n){//计算一个次数界为n的多项式a的积分，放入b

	for(int i=n-1;i>0;i--)

		b[i]=1LL*a[i-1]*inv[i]%MOD;

	b[0]=0;

}

void polyLn(int *f,int *g,int n){//整体计算于模x^n意义下进行

	static int t1[S],t2[S];

	polyDeri(f,t1,n);//求导，放入t1

	memset(t2,0,sizeof t2);

	polyInv(f,t2,n);//求逆，放入t2

	NTT::init(n*2-1);//接下来是t1与t2相乘

	for(int i=n;i<NTT::n;i++) t1[i]=t2[i]=0;

	NTT::ntt(t1,0);

	NTT::ntt(t2,0);

	for(int i=0;i<NTT::n;i++) t1[i]=1LL*t1[i]*t2[i]%MOD;

	NTT::ntt(t1,1);//此时t1只有0~n-1项的系数有意义，即为上述分式

	polyInte(t1,g,n);//积分，放入g

}

多项式牛顿迭代法

　　

　　已知多项式$g(x)$，求$f(x)$使得$g(f(x))\equiv0\pmod{x^n}$

　　

做法：倍增模数$x^n$。

　　

　　当$n=1$时，$f(x)=1$（令常数项为1）。

　　

　　假设已知$f_0(x)$使得

\[g(f_0(x))\equiv0\pmod{x^{\lceil \frac n2\rceil}}
\]

　　则构造$f(x)$

\[f(x)\equiv f_0(x)-\frac{g(f_0(x))}{g'(f_0(x))}\pmod{x^n}
\]

　　可满足$g(f(x))\equiv0\pmod{x^n}$

　　

　　

　　

　　

　　

多项式求exp

　　

　　已知次数界为$n$的多项式$f(x)$，并知关系$g(x)\equiv e^{f(x)}\pmod{x^n}$。求未知多项式$g(x)$

　　

　　前置技能：多项式牛顿迭代法。

　　

　　先来转化一下式子：

\[\begin{aligned}
g(x)-e^{f(x)}&\equiv 0\pmod{x^n}\\
\ln g(x)-f(x)&\equiv 0 \pmod{x^n}
\end{aligned}
\]

　　其实就是要求解多项式函数

\[H(g(x))=\ln g(x)-f(x)\pmod{x^n}
\]

　　的零点多项式。其中$g(x)$是变量，$f(x)$是常量多项式。

　　

　　套用多项式牛顿迭代，假设已知多项式$g_0(x)$满足

\[\ln g_0(x)-f(x)\equiv 0\pmod{x^{\lceil \frac n2\rceil}}
\]

　　则构造$g(x)$

\[\begin{aligned}
g(x)&\equiv g_0(x)-\frac{\ln g_0(x)-f(x)}{\frac 1 {g_0(x)}}\\
&\equiv g_0(x)*(1-\ln g_0(x)+f(x))\pmod{x^n}
\end{aligned}
\]

　　可满足$\ln g(x)-f(x)\equiv 0\pmod{x^{n}}$。

　　

　　向上倍增即可。

　　

void polyExp(int *f,int *g,int n){

	if(n==1){

		g[0]=1;

		return;

	}

	static int t[S];

	polyExp(f,g,(n+1)>>1);//求得g0，放在g中

	polyLn(g,t,n);//求g0的ln，放在t中

	for(int i=0;i<n;i++) t[i]=(f[i]-t[i])%MOD;//构造后面一个括号的多项式，还是放在t中

	t[0]++;

	NTT::init(n*2-1);//g0和t相乘

	for(int i=n;i<NTT::n;i++) t[i]=g[i]=0;

	NTT::ntt(t,0);

	NTT::ntt(g,0);

	for(int i=0;i<NTT::n;i++) g[i]=1LL*t[i]*g[i]%MOD;

	NTT::ntt(g,1);

	for(int i=n;i<NTT::n;i++) g[i]=0;//清空不必要的东西

}

　　

　　同求逆，最好在整体调用之前清空$g$数组，以免不必要的错误。

　　　　