Comet OJ - Contest #5 E 迫真大游戏

怎么说，看了推到之后真的不难，事实上确实也蛮友好（可能咱就是想不出多项式题目的做法？？？），除了用到了分治法法塔就比较毒瘤

花了一个晚上以及一个上午做这么一道题...（还是太菜了）

Result1

分治法法塔NB ，CMX NB

推导分为两步走：

Part1

第一步是求出游戏人数为 n 时，第一个人最后死亡的概率 \(f(n)\)

我们先写出 f 的公式：

\[f_n=\sum_{i=0}^{n-1} f_{n-i} \binom{n-1}{i} p^i q^{n-i}
\]

其中 i 为一轮下来死亡的人数，当然 1 号必然要存活

化简：

\[\begin{aligned}{f_n}({1-q^n})&=\sum_{i=1}^{n-1} f_{n-i} \binom{n-1}{i} p^i q^{n-i} \\ f_n&=\frac{n!}{1-q^n} \sum_{i=1}^{n-1} \frac{p^i}{i!} ·\frac{f_{n-i}q^{n-i}}{(n-1-i)!} \end{aligned}
\]

容易看出是个卷积的形式，但 f 卷积式与自己有关，所以用分治法法塔解决，复杂度直上 \(n\log^2n\)

这样乱搞就是为了求出一个 \(f_n\) ？呵呵...

Part2

然后康康对于每个人他留到最后的概率

由于判定是从第一号角色开始的，那么我们把第 k 个人先搞到第一号角色，即假设先判了前面的 k-1 个人，死了 i 个，剩 n-i 个，这时候第 k 个人就是最先判定的那个了

\[\begin{aligned}S_k&=\sum_{i=0}^{k-1} \binom{k-1}{i} p^{i} q^{k-1-i} f_{n-i} \\ &=(k-1)!\sum_{i=0}^{k-1} \frac{p^if_{n-i}}{i!} · \frac{q^{k-1-i}}{(k-1-i)!} \end{aligned}
\]

发现是个蛮朴素卷积...

Code

好菜的 zjq...

//by Judge (zlw ak ioi)
#include<bits/stdc++.h>
#define Rg register
#define fp(i,a,b) for(Rg int i=(a),I=(b)+1;i<I;++i)
#define fd(i,a,b) for(Rg int i=(a),I=(b)-1;i>I;--i)
#define ll long long
using namespace std;
const int mod=998244353;
const int iG=332748118;
const int M=53e4+3;
typedef int arr[M];
int n,a,b,p,q,limit; arr f,A,B,r,fac,finv,inv,pwp,pwq;
char sr[1<<21],z[20];int CCF=-1,Z;
inline void Ot(){fwrite(sr,1,CCF+1,stdout),CCF=-1;}
inline void print(int x,char chr='\n'){
    if(CCF>1<<20)Ot();if(x<0)sr[++CCF]=45,x=-x;
    while(z[++Z]=x%10+48,x/=10);
    while(sr[++CCF]=z[Z],--Z);sr[++CCF]=chr;
}
inline int mul(int x,int y){return 1ll*x*y%mod;}
inline void Pls(int& x,int y){if((x+=y)>=mod)x-=mod;}
inline int inc(int x,int y){return (x+=y)>=mod?x-mod:x;}
inline int qpow(int x,int p=mod-2){ Rg int s=1;
	for(;p;p>>=1,x=mul(x,x)) if(p&1) s=mul(s,x); return s;
}
inline void init(int n){ Rg int len=-1;
	limit=1; while(limit<n) limit<<=1,++len;
	fp(i,1,limit-1) r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<len);
}
inline void NTT(int* a,int tp){
	fp(i,1,limit-1) if(i<r[i]) swap(a[i],a[r[i]]);
	for(Rg int i=1,I=2;i<limit;i<<=1,I<<=1){
		Rg int Wn=qpow(tp?3:iG,(mod-1)/I);
		for(Rg int j=0,y;j<limit;j+=I)
			for(Rg int k=0,w=1;k<i;++k,w=mul(w,Wn)){
				y=mul(a[j+k+i],w),a[j+k+i]=inc(a[j+k],mod-y),
				a[j+k]=inc(a[j+k],y);
			}
	} if(!tp) fp(i,0,limit-1) a[i]=mul(a[i],inv[limit]);
}
inline void Solv(int l,int r){ if(r==1) return ;
	if(l==r) return f[l]=mul(f[l],mul(fac[l-1],qpow(mod+1-pwq[l]))),void();
	Rg int md=(l+r)>>1; Solv(l,md),init(md+r-l-l);
	fp(i,l,md) A[i-l]=mul(f[i],mul(pwq[i],finv[i-1]));
	fp(i,1,r-l) B[i-1]=mul(pwp[i],finv[i]);
	fp(i,md-l+1,limit-1) A[i]=0; fp(i,r-l,limit-1) B[i]=0;
	NTT(A,1),NTT(B,1); fp(i,0,limit-1) A[i]=mul(A[i],B[i]);
	NTT(A,0); fp(i,md+1,r) Pls(f[i],A[i-l-1]); Solv(md+1,r);
}
inline void Calc(){ init(n<<1);
	fp(i,0,n-1) A[i]=mul(f[n-i],mul(pwp[i],finv[i])),B[i]=mul(pwq[i],finv[i]);
	fp(i,n,limit-1) A[i]=B[i]=0; NTT(A,1),NTT(B,1);
	fp(i,0,limit-1) A[i]=mul(A[i],B[i]); NTT(A,0);
	fp(i,0,n-1) print(mul(A[i],fac[i])); Ot();
}
int main(){ cin>>n>>a>>b,p=mul(a,qpow(b)),q=mul(b-a,qpow(b));
	init(n<<1),fac[0]=1; fp(i,1,limit) fac[i]=mul(fac[i-1],i);
	finv[limit]=qpow(fac[limit]); fd(i,limit,1) finv[i-1]=mul(finv[i],i);
	inv[0]=1; fp(i,1,limit) inv[i]=mul(finv[i],fac[i-1]);
	pwp[0]=pwq[0]=1; fp(i,1,n) pwp[i]=mul(pwp[i-1],p),pwq[i]=mul(pwq[i-1],q);
	return f[0]=0,f[1]=1,Solv(1,n),Calc(),0;
}

Result 2

嘤嘤嘤发现这个分治法法塔被 一只 log 的血腥推导吊打... 清雨姐姐NB

首先用 i 表示游戏进行了 i 轮之后， 1 号位 死了，且是最后死的概率（可能有点难理解 1 号位为什么要死，原因大概是因为是不这么算的话比较难表示，且容易出现相同的状况重复计算）

\[\begin{aligned}f_n&=\sum_{i=0}^{\infty}p· q^i (1-q^i)^{n-1}\\&= \sum_{i=0}^{\infty}p· q^i \sum_{j=0}^{n-1} (-1)^{j} \binom{n-1}{j}(q^i)^{j}\\&=p \sum_{j=0}^{n-1}\binom{n-1}{j} (-1)^{j} \sum_{i=0}^{\infty} (q^i)^{j+1} \\&=p\sum_{j=0}^{n-1}\frac{\binom{n-1}{j} (-1)^{j} }{1-q^{j+1}} \\&=p (n-1)!\sum_{j=0}^{n-1}\frac{ (-1)^{j} }{j!·(1-q^{j+1})} · \frac{1}{(n-1-j)!} \end{aligned}
\]

发现也是卷积的形式呢，而且直接一只 log 就能处理出来，然后咱用 \(f_n\) 进行上述的操作就行了QwQ

//by Judge (zlw ak ioi)
#include<bits/stdc++.h>
#define Rg register
#define fp(i,a,b) for(Rg int i=(a),I=(b)+1;i<I;++i)
#define fd(i,a,b) for(Rg int i=(a),I=(b)-1;i>I;--i)
#define ll long long
using namespace std;
const int mod=998244353;
const int iG=332748118;
const int M=53e4+3;
typedef int arr[M];
int n,a,b,p,q,limit; arr f,A,B,r,fac,finv,inv,pwp,pwq;
char sr[1<<21],z[20];int CCF=-1,Z;
inline void Ot(){fwrite(sr,1,CCF+1,stdout),CCF=-1;}
inline void print(int x,char chr='\n'){
    if(CCF>1<<20)Ot();if(x<0)sr[++CCF]=45,x=-x;
    while(z[++Z]=x%10+48,x/=10);
    while(sr[++CCF]=z[Z],--Z);sr[++CCF]=chr;
}
inline int mul(int x,int y){return 1ll*x*y%mod;}
inline void Pls(int& x,int y){if((x+=y)>=mod)x-=mod;}
inline int inc(int x,int y){return (x+=y)>=mod?x-mod:x;}
inline int qpow(int x,int p=mod-2){ Rg int s=1;
	for(;p;p>>=1,x=mul(x,x)) if(p&1) s=mul(s,x); return s;
}
inline void init(int n){ Rg int len=-1;
	limit=1; while(limit<n) limit<<=1,++len;
	fp(i,1,limit-1) r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<len);
}
inline void NTT(int* a,int tp){
	fp(i,1,limit-1) if(i<r[i]) swap(a[i],a[r[i]]);
	for(Rg int i=1,I=2;i<limit;i<<=1,I<<=1){
		Rg int Wn=qpow(tp?3:iG,(mod-1)/I);
		for(Rg int j=0,y;j<limit;j+=I)
			for(Rg int k=0,w=1;k<i;++k){
				y=mul(a[j+k+i],w),a[j+k+i]=inc(a[j+k],mod-y),
				a[j+k]=inc(a[j+k],y),w=mul(w,Wn);
			}
	} if(!tp) fp(i,0,limit-1) a[i]=mul(a[i],inv[limit]);
}
inline void Calc(){ init(n<<1);
	fp(i,0,n-1) A[i]=mul(mul(i&1?mod-1:1,qpow(mod+1-pwq[i+1])),finv[i]),B[i]=finv[i];
	NTT(A,1),NTT(B,1); fp(i,0,limit-1) A[i]=mul(A[i],B[i]); NTT(A,0);
	fp(i,1,n) f[i]=mul(mul(p,fac[i-1]),A[i-1]);
	memset(A,0,(limit+1)<<2),memset(B,0,(limit+1)<<2);
	fp(i,0,n-1) A[i]=mul(f[n-i],mul(pwp[i],finv[i])),B[i]=mul(pwq[i],finv[i]);
	NTT(A,1),NTT(B,1); fp(i,0,limit-1) A[i]=mul(A[i],B[i]); NTT(A,0);
	fp(i,0,n-1) print(mul(A[i],fac[i])); Ot();
}
int main(){ cin>>n>>a>>b,p=mul(a,qpow(b)),q=mul(b-a,qpow(b));
	init(n<<1),fac[0]=1; fp(i,1,limit) fac[i]=mul(fac[i-1],i);
	finv[limit]=qpow(fac[limit]); fd(i,limit,1) finv[i-1]=mul(finv[i],i);
	inv[0]=1; fp(i,1,limit) inv[i]=mul(finv[i],fac[i-1]);
	pwp[0]=pwq[0]=1; fp(i,1,n) pwp[i]=mul(pwp[i-1],p),pwq[i]=mul(pwq[i-1],q);
	return f[0]=0,Calc(),0;
}