[补档][HNOI 2008]GT考试

[HNOI 2008]GT考试

题目

阿申准备报名参加GT考试，准考证号为N位数X1X2....Xn(0<=Xi<=9),他不希望准考证号上出现不吉利的数字。
他的不吉利数学A1A2...Am(0<=Ai<=9)有M位，不出现是指X1X2...Xn中没有恰好一段等于A1A2...Am. A1和X1可以为0

INPUT

第一行输入N,M,K.接下来一行输入M位的数。 N<=10^9,M<=20,K<=1000

OUTPUT

阿申想知道不出现不吉利数字的号码有多少种，输出模K取余的结果.

SAMPLE

INPUT

4 3 100
111

OUTPUT

81

解题报告

　　这道题一开始真心没有什么思路，后来我跟两个dalao一起商（luan）谈（gao）了一个来小时，终于搞了出来= =

　　首先，我们我们考虑两个串（从短到长）
　　第一个串为不断增加的准考证号，第二个串为不吉利的号码，第一个串的后缀与第二个串的前缀为重复部分，那么我们很容易得出递推关系

　　先扯出来，考虑两个集合，一个集合为不吉利的号码，一个集合为吉利的号码。我们只考虑后缀（正确性显然，因为长度长的串一定是由长度短的串递推过来的，所以如果前面有不吉利串，一定被前面的串卡掉了），当后缀包含了m个不吉利串，该串一定是不吉利的。那么，后缀包含0~m-1个不吉利串的前缀的串一定是吉利的。所以，我们把求不吉利的串 转化为 求 后缀包含不吉利串0~m-1 的 串 的 方案数

　　然而与字符串有啥关系？
　　考虑这样一个不吉利串

　　　　123124

　　当你的后缀带了2时，你怎么知道你的后几位是12还是12312？所以，加一位不吉利数不代表直接在后面加了一位。
　　那么，问题来了，如何表示这些奇（chun）奇（de）怪（bu）怪（xing）的转移？
　　考虑一个递推矩阵，设dp[i][j]为第i个号码匹（zhuan）配（yi）到第j个不吉利数字的方案数，设a[k][i]为k位后加一个数转移到j的方案数，我们可以轻易的得出递推关系：

　　　　　　dp[i][j]=/sumdp[i-1][k]*a[k][j]  　

　　用KMP构造初始矩阵，矩阵快速幂得到递推结果。

　　为什么是矩阵快速幂？
　　这个问题很简单。我们知道，矩阵乘是这样写的：

 martrix tmp;
 for(int i=;i<n;i++)
     for(int j=;j<n;j++){
         tmp.data[i][j]=;
         for(int k=;k<n;k++){
             tmp.data[i][j]+=(a.data[i][k]*b.data[k][j]);
             tmp.data[i][j]%=mod;
         }
     }
 return tmp;

　　那么问题就简单起来了，考虑一个3*3的初始矩阵，第i行，第j列表示从第i位加一个数字转移到第j为数字的方案数，那么以该矩阵的平方的第一行第一列的数为例，（设初始矩阵为a，该矩阵为x）：
　　x[1][1]=a[1][1]×a[1][1]+a[1][2]×a[2][1]+a[1][3]×a[3][1];
　　因为是平方得到的矩阵，所以代表了转移两步的状态，我们知道，x[1][1]代表了从第一位经两步转移到第一位的方案数，由加法原理可知：
　　1->1(经两步)=(1->1->1)+(1->2->1)+(1->3->1)
　　而又由乘法原理可知：
　　1->2->1=(1->2)×(2->1)
　　那么正确性就很显然了，由矩阵快速幂的递推关系可知，最终结果即为第一行的数的和
　　至于KMP，把10个数字扔进去乱搞就是了= =
　　记得要模k= =

 #include<iostream>
 #include<cstring>
 #include<cstdio>
 using namespace std;
 int n,m,mod;
 char s[];
 int kp[];
 inline void get_kp(){
     kp[]=;
     kp[]=;
     int k();
     for(int i=;i<=m;i++){
         while(k&&s[k]!=s[i-])
             k=kp[k];
         if(s[k]==s[i-])
             k++;
         kp[i]=k;
     }
 }
 struct node{
     int data[][];
     node(){
         memset(data,,sizeof(data));
     }
     node operator*(node &a){
         node tmp;
         for(int i=;i<m;i++)
             for(int j=;j<m;j++){
                 tmp.data[i][j]=;
                 for(int k=;k<m;k++){
                     tmp.data[i][j]+=(data[i][k]*a.data[k][j]);
                     tmp.data[i][j]%=mod;
                 }
             }
         return tmp;
     }
     node operator*=(node &a){
         *this=*this*a;
         return *this;
     }
 }a,sing;
 ostream& operator<<(ostream &out,node &a){
     for(int i=;i<m;i++){
         for(int j=;j<m;j++)
             out<<a.data[i][j]<<' ';
         out<<endl;
     }
     return out;
 }
 int main(){
     scanf("%d%d%d%s",&n,&m,&mod,s);
     get_kp();
     for(int i=;i<m;i++)
         for(int j=;j<=;j++){
             int k(i);
             while(k&&(j+'')!=s[k])
                 k=kp[k];
             if(j+''==s[k])
                 k++;
             if(k!=m){
                 a.data[i][k]++;
                 a.data[i][k]%=mod;//cout<<'*';
             }
         }//cout<<a<<endl;
     /*for(int i=0;i<m;i++){
         for(int j=0;j<m;j++)
             cout<<a[i][j]<<' ';
         cout<<'\n';
     }*/
     for(int i=;i<m;i++)
         sing.data[i][i]=;
     int tmp(n);
     while(tmp){
         if(tmp&)
             sing*=a;
         a*=a;
         //cout<<tmp<<endl;
         //cout<<a<<endl<<sing<<endl;
         tmp>>=;
     }
     int ans();
     for(int i=;i<m;i++){
         ans=(ans+sing.data[][i])%mod;
         //cout<<ans<<endl;
     }
     cout<<ans;
     //while(1);
 }

ps：2017-6-14 晚 讲题用题解
pss：调矩阵快调死了= =，最后发现初始矩阵求错了= =