Deep Learning - 2 反向传播

深度神经网络的学习基于两个关键技术：

Stochastic Gradient Descent
Backpropagation

利用 SGD 算法学习 Weights 和 Biases，利用 Backpropagation 算法来快速计算 Cost Function 的 Gradient 。

反向传播是一种快速的学习算法，能够让我们深入地了解改变 Weights 和 Biases 的值，是如何改变整个网络的行为的。

Weights

$W_{jk}^{l}$表示从第 $l-1$ 层的第 k 个神经元，到第 $l$ 层的第 $j$ 个神经元的连接的权重。

Biases and Activations

$b_j^l$ 表示第 $l$ 层第 $j$ 个神经元的 Biases
$a_j^l$ 表示第 $l$ 层第 $j$ 个神经元的 Activations（激活值）

神经元的视角

每个神经元的激活值可以这样表示：

$$

a_j^l = \sigma \left(\sum_k w_{jk}^{l} a_{k}^{l-1}+b_{j}{l}\right)

$$

层视角

通过使用矩阵：

每一层 $l$ 定义一个权重矩阵 $w^l$ ，$w^l$ 中的第 $j$ 行第 $k$ 列的元素就是 $w_{jk}^{l}$ 。
$b^l$ 代表第 $l$ 层的 Biases 向量。
将 $\sigma$ 函数向量化，即对向量 $v$ 中的每一项，都单独地应用 $\sigma$ 函数，记为 $\sigma(v)$ 。
$a^l$代表第 $l$ 层的神经元的激活值向量。

每层的激活值可以这样表示：

$$

a^l = \sigma ( w^l a^{l-1} + b^l )

$$

将权值矩阵作用于上一层的激活值
然后加上偏置向量
最后用 $\sigma$ 函数作用于这个结果
就得到了本层的激活值

Weighted Input

$z^l \equiv w^l a^{l-1} + b^l$ ，$z^l$ 成为对第 $l$ 层神经元激活函数的加权输入。

$$

a^l = \sigma (z^l)

$$

Cost Function 的两个假设

MSE代价函数：

$$

C = \frac{1}{2n} \sum_x ||y(x)-a^L(x)||2

$$

n是训练样本数量
$\sum_x$是对每个独立训练样本 $x$ 求和
$y=y(x)$ 是每个独立训练样本 $x$ 的预期输出结果
$L$ 是神经网络的层数
$a^L = a^L (x)$是输入为 $x$ 时网络的激活函数的输出向量

为了能够使用反向传播，我们需要对代价函数C进行两个假设。

假设一

假设代价函数能够写成这样的形式

$$

C = \frac{1}{n} \sum_x C_x

$$

$C_x$ 是每个独立训练样本 $x$ 的代价函数。

当代价函数是MSE时，$C_x = \frac{1}{2} ||y-a||^2$ 。

假设二

假设代价函数可以写成关于神经网络输出结果的函数。

MSE代价函数满足这个要求，因为单一训练样本x的二次代价可以表示为：

$$

C = \frac{1}{2} ||y-a^L||2 = \frac{1}{2} \sum_j ( y_j - a_j^L )^2

$$

因为输入的训练样本 x 是固定的，所以期望的输出 y 也是固定的。x 和 y 不是神经网络所学习的东西，我们不能通过改变 Weights 和 Biases 来修改它。

所以这里可以把 C 视为是只关于输出 $a^L$ 的函数。

Hadamard Product

反向传播会用到 Hadamard Product ，假设 s 和 t 两个向量有相同的维数

$$

( s \odot t )_j = s_j t_j

$$

其中，$s \odot t$ 表示两个向量的对应元素相乘

反向传播背后的四个基本等式

$$

\delta^L = \nabla a C \odot \sigma'(z^L) \

\delta^l = ((w^{l+1})T \delta^{l+1}) \odot \sigma' (z^l) \

\frac{\partial C}{\partial b_j^l} = \delta_j^l \

\frac{\partial C}{\partial w_{jk}^l} = a_{k}^{l-1} \delta_j^l

$$

反向传播算法

输入一组训练数据

对于训练数据中的每个样本 x

计算输入层的激活函数值 $a^{x,1}$，并执行下面的步骤：

Feedforward（正向传播）

计算样本x在每一层的激活函数值 $a^{x,l}$

$$

l=2,3,\dots ,L \

z^{x,l} = w^l a^{x,l-1} + b^l \

a^{x,l} = \sigma ( z^{x,l} )

$$

输出层的误差

计算样本x在输出层的误差向量

$$

\delta^{x,L} = \nabla_a C_x \odot \sigma' ( z^{x,L} )

$$

将误差反向传播

使用输出层的误差，计算样本x在之前每一层的误差

$$

l = L-1,L-2,\dots ,2 \

\delta^{x,l} = (( w^{l+1} )^T \delta^{x,l+1} ) \odot \sigma'( z^{x,l} )

$$

Gradient Descent

使用样本x在每一层的误差，更新 Weights 和 Biases

$$

l = L,L-1,\dots,2 \

w^l \rightarrow w^l - \frac{\eta}{m} \sum_x \delta^{x,l} (a^{x,l-1})T\

b^l \rightarrow b^l - \frac{\eta}{m} \sum_x \delta^{x,l}

$$

反向传播算法的实现

初始化网络

self.num_layers = len(sizes)

self.sizes = sizes

self.biases = [np.random.randn(y, 1) for y in sizes[1:]]

self.weights = [np.random.randn(y, x)

                for x, y in zip(sizes[:-1], sizes[1:])]

对于5层的神经网络，初始化后 Weights 和 Biases 的结构如下

size = [748, 40, 30, 20, 10]

biases  [(40, 1), (30, 1), (20, 1), (10, 1)]

weights [(40, 784), (30, 40), (20, 30), (10, 20)]

随机梯度下降

随机

def SGD(self, training_data, epochs, mini_batch_size, eta,

            test_data=None):

    for j in range(epochs):

        # 随机打散

        random.shuffle(training_data)

        # 分批

        mini_batches = [

            training_data[k:k+mini_batch_size]

            for k in range(0, n, mini_batch_size)]

        for mini_batch in mini_batches:

            # 使用小批样本快速学习

            self.update_mini_batch(mini_batch, eta)

            if test_data:

                print("Epoch {} : {} / {}"

                    .format(j,self.evaluate(test_data),n_test));

            else:

                print("Epoch {} complete".format(j))

梯度下降

def update_mini_batch(self, mini_batch, eta):

    # 每一层每个神经元的偏置和权值

    nabla_b = [np.zeros(b.shape) for b in self.biases]

    nabla_w = [np.zeros(w.shape) for w in self.weights]

    for x, y in mini_batch:

        # 对于每一个样本x，反向传播，计算每一层每个神经元的梯度

        delta_nabla_b, delta_nabla_w = self.backprop(x, y)

        # 将样本x的误差梯度汇总到批次梯度上

        nabla_b = [nb+dnb for nb, dnb

                   in zip(nabla_b, delta_nabla_b)]

        nabla_w = [nw+dnw for nw, dnw

                   in zip(nabla_w, delta_nabla_w)]

    # 使用批次梯度更新权值和偏置

	self.weights = [w-(eta/len(mini_batch))*nw

                        for w, nw in zip(self.weights, nabla_w)]

	self.biases = [b-(eta/len(mini_batch))*nb

                       for b, nb in zip(self.biases, nabla_b)]

反向传播

def backprop(self, x, y):

    # 每一层的偏置向量和权值矩阵

    nabla_b = [np.zeros(b.shape) for b in self.biases]

    nabla_w = [np.zeros(w.shape) for w in self.weights]

    # 正向传播

    activation = x

    activations = [x] # 样本x在每一层的激活值向量

    zs = [] # 样本x在每一层的加权输入向量

    # 逐层计算样本x在加权输入向量和激活值向量

    for b, w in zip(self.biases, self.weights):

        z = np.dot(w, activation)+b

        zs.append(z)

        activation = sigmoid(z)

        activations.append(activation)

    # 反向传播

    # 计算样本x在输出层的误差和梯度

    delta = self.cost_derivative(activations[-1], y) * \

    sigmoid_prime(zs[-1])

    nabla_b[-1] = delta

    nabla_w[-1] = np.dot(delta, activations[-2].transpose())

    # 使用输出层的误差和梯度，逐层向前计算样本x在每一层的误差梯度和权值梯度

    for l in range(2, self.num_layers):

        z = zs[-l]

        sp = sigmoid_prime(z)

        delta = np.dot(self.weights[-l+1].transpose(), delta) * sp

        nabla_b[-l] = delta

        nabla_w[-l] = np.dot(delta, activations[-l-1].transpose())

    return (nabla_b, nabla_w)

反向传播算法为什么更高效

待更新

反向传播整体描述

我们对 $w_{jk}^{l}$ 作出一个小的改变$\triangle w_{jk}^l$

这个改变量会导致与它相连的神经元的输出激活值改变

然后，这个激活着会影响下一层的所有激活值

这样一层一层地，最终引起代价函数的改变，并且这个改变我们可以算出。