[CF888E] Maximum Subsequence 序列分治

早期作品，不喜轻喷。

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序列分治板子题。

切这道题用了好长时间，所以想发篇题解作为纪念 。

首先，我们认真观察题目数据（面向数据做题是个好习惯），发现题目的\(n\)竟然只有\(35\)，我们顿时感到打暴力的机会来了：

\(2^n\)枚举？

是个好办法。

只可惜我们发现\(2^{35}=34359738368\),并不能过掉所有数据点，于是考虑优化。

分治

考虑把这\(n\)个数分成两组（当然要尽量平均），对两组数据分别实施暴力，并把结果存起来（事实上是可以存下来的：\(2^{18}=262144\))。

void dfs1(int i,int sum){
	if(i==b){p[++k]=sum,p[++k]=(sum+a[b])%m; return ;}
	dfs1(i+1,sum),dfs1(i+1,(sum+a[i])%m);
}
void dfs2(int i,int sum){
	if(i==n){q[++t]=sum,q[++t]=(sum+a[n])%m; return ;}
	dfs2(i+1,sum),dfs2(i+1,(sum+a[i])%m);
}

这样一来，我们就得到了原序列分成两半的结果，这两个序列中的数两两组合就可以得到我们要的结果。

等等，两两组合？这样的复杂度不是和纯暴力一样吗？

这时候就需要我们贪心地看问题了：

我们发现：对于序列\(p\)中的每一个数\(p_i\)，在序列\(q\)中若能找到一个与之相加小于\(m\)的最大的数\(q_j\),其他所有的与\(p_i\)的和小于\(m\)的数都不会比它更优,即\(q_j\)比序列\(q\)中所有比它小的数都更优。

对于\(q\)中的每一个数，满足相同条件的\(p_i\)也具有同样的性质。

我们想到一种对于\(p,q\)线性的算法：把\(p\)和\(q\)排一遍序，把指向\(p\)数组的指针\(i\)和指向\(q\)数组的指针\(j\)分别按上面所说的条件向右和向左移动，同时更新\(ans\)。

这时我们就只剩下\(p_i+q_j>m\)的情况了，由于在之前已经取过模，\(p_i+q_j\)必定小于\(2m\)，所以我们就只需要用\(p,q\)的最大值之和去更新一下\(ans\)就好了。

代码实现

int main(){
	R int i,j,ans=0;
	n=read(),m=read(),b=n>>1;
	for(i=1;i<=n;++i) a[i]=read();
	if(n==1) printf("%d",a[1]%m),exit(0);
	dfs1(1,0),dfs2(b+1,0),i=0,j=t;
	sort(p+1,p+k+1),sort(q+1,q+t+1);
	while(i<=k){
		while(p[i]+q[j]>=m) --j;
		ans=max(ans,p[i]+q[j]),++i;
	}
	ans=max(ans,p[k]+q[t]-m);
	printf("%d",ans);
	return 0;
}

注意这里特判了一下\(n=1\)的情况，我被这个点坑了一次。