损失函数(loss function)

通常而言，损失函数由损失项(loss term)和正则项(regularization term)组成。发现一份不错的介绍资料：

http://www.ics.uci.edu/~dramanan/teaching/ics273a_winter08/lectures/lecture14.pdf （题名“Loss functions; a unifying view”）。

 

一、损失项

• 对回归问题，常用的有：平方损失(for linear regression)，绝对值损失；
• 对分类问题，常用的有：hinge loss(for soft margin SVM)，log loss(for logistic regression)。

 

说明：

• 对hinge loss，又可以细分出hinge loss（或简称L1 loss）和squared hinge loss（或简称L2 loss）。国立台湾大学的Chih-Jen Lin老师发布的Liblinear就实现了这2种hinge loss。L1 loss和L2 loss与下面的regularization是不同的，注意区分开。

二、正则项

• 常用的有L1-regularization和L2-regularization。上面列的那个资料对此还有详细的总结。

补充

• Liblinear地址：http://www.csie.ntu.edu.tw/~cjlin/liblinear/

## 机器学习中常见的损失函数  

  一般来说，我们在进行机器学习任务时，使用的每一个算法都有一个目标函数，算法便是对这个目标函数进行优化，特别是在分类或者回归任务中，便是使用损失函数（Loss Function）作为其目标函数，又称为代价函数(Cost Function)。   

损失函数是用来评价模型的预测值Y^=f(X)与真实值Y的不一致程度，它是一个非负实值函数。通常使用L(Y,f(x))来表示，损失函数越小，模型的性能就越好。   

设总有N个样本的样本集为(X,Y)=(xi,yi)，yi,i∈[1,N]为样本i的真实值，yi^=f(xi),i∈[1,N]为样本i的预测值，f为分类或者回归函数。 那么总的损失函数为：

       L=∑i=1Nℓ(yi,yi^)

   常见的损失函数ℓ(yi,yi^)有以下几种： ### Zero-one Loss Zero-one Loss即0-1损失，它是一种较为简单的损失函数，如果预测值与目标值不相等，那么为1，否则为0，即：

       ℓ(yi,yi^)={1,0,yi≠yi^yi=yi^

可以看出上述的定义太过严格，如果真实值为1，预测值为0.999，那么预测应该正确，但是上述定义显然是判定为预测错误，那么可以进行改进为Perceptron Loss。

### Perceptron Loss Perceptron Loss即为感知损失。即：

       ℓ(yi,yi^)={1,0,|yi−yi^|>t|yi−yi^|≤t

其中t是一个超参数阈值，如在PLA([Perceptron Learning Algorithm,感知机算法](http://kubicode.me/2015/08/06/Machine%20Learning/Perceptron-Learning-Algorithm/))中取t=0.5。

### Hinge Loss Hinge损失可以用来解决间隔最大化问题，如在SVM中解决几何间隔最大化问题，其定义如下：

       ℓ(yi,yi^)=max{0,1−yi⋅yi^}

       yi∈{−1,+1}

更多请参见：[Hinge-loss](https://en.wikipedia.org/wiki/Hinge_loss)。

### Log Loss 在使用似然函数最大化时，其形式是进行连乘，但是为了便于处理，一般会套上log，这样便可以将连乘转化为求和，由于log函数是单调递增函数，因此不会改变优化结果。因此log类型的损失函数也是一种常见的损失函数，如在LR([Logistic Regression, 逻辑回归](chrome-extension://ikhdkkncnoglghljlkmcimlnlhkeamad/pdf-viewer/web/viewer.html?file=https%3A%2F%2Fpeople.eecs.berkeley.edu%2F~russell%2Fclasses%2Fcs194%2Ff11%2Flectures%2FCS194%2520Fall%25202011%2520Lecture%252006.pdf))中使用交叉熵(Cross Entropy)作为其损失函数。即：

        ℓ(yi,yi^)=yi⋅logyi^+(1−yi)⋅log(1−yi^)

       yi∈{0,1}

规定

       0⋅log⋅=0

### Square Loss Square Loss即平方误差，常用于回归中。即：

      ℓ(yi,yi^)=(yi−yi^)2

      yi,yi^∈R

### Absolute Loss Absolute Loss即绝对值误差，常用于回归中。即：

      ℓ(yi,yi^)=|yi−yi^|

      yi,yi^∈R

### Exponential Loss Exponential Loss为指数误差，常用于boosting算法中，如[AdaBoost](https://en.wikipedia.org/wiki/AdaBoost)。即：

      ℓ(yi,yi^)=exp(−yi⋅yi^)

      yi∈{−1,1}

正则

一般来说，对分类或者回归模型进行评估时，需要使得模型在训练数据上使得损失函数值最小，即使得经验风险函数最小化，但是如果只考虑经验风险(Empirical risk)，容易过拟合(详细参见防止过拟合的一些方法)，因此还需要考虑模型的泛化能力，一般常用的方法便是在目标函数中加上正则项，由损失项(Loss term)加上正则项(Regularization term)构成结构风险(Structural risk)，那么损失函数变为：

L=∑i=1Nℓ(yi,yi^)+λ⋅R(ω)

其中λ是正则项超参数，常用的正则方法包括：L1正则与L2正则，详细介绍参见：防止过拟合的一些方法。

各损失函数图形如下：