[note]树链剖分

树链剖分https://www.luogu.org/problemnew/show/P3384

概念

树链剖分，是一种将树剖分成多条不相交的链的算法，并通过其他的数据结构来维护这些链上的信息。

最简单的例子就是\(LCA\)，假设现在有一棵退化成链的树。如果要求任意两点的\(LCA\)，因为他们在同一条链上的缘故，只需要判断一下两者的深度就行了。由此可见，在链上是比在树上更好操作的。

那么该怎么将一棵树剖分开来捏？

先搬出一堆概念：

重儿子
在以X节点为根的子树中，节点数最多的子树的根节点，即是X节点的重儿子。
重边
连接X节点与X节点的重儿子的边，我们叫他重边。
重链
一堆重边连起来的链。
轻链
一堆非重边连起来的链。

对于每个节点，找出其重儿子，就可以剖分成一条条重链与轻链。

实现

数组定义

\(val[N]\)每个节点的初值

\(size[N]\)每个节点子树的大小

\(son[N]\)每个节点的重儿子

\(fa[N]\)每个节点的父亲

\(dfn[N]\)每个节点在线段树上的编号

\(rk[N]\)线段树上节点在树中的编号

\(dep[N]\)节点深度

\(top[N]\)每个点所在链的链顶

\(dfs\)

第一遍\(dfs\)处理出\(size[],fa[],son[],dep[]\)

第二遍\(dfs\)处理出\(top[],dfn[],rk[]\)

线段树

用线段树维护树链,并实现链上的操作,常见操作如下:

将树从\(X\)到\(Y\)结点最短路径上所有节点的值都加上\(Z\)

求树从\(X\)到\(Y\)结点最短路径上所有节点的值之和

将以\(X\)为根节点的子树内所有节点值都加上\(Z\)

求以\(X\)为根节点的子树内所有节点值之和

对于子树操作:我们知道一颗子树内的编号一定是连续的，那么以\(X\)节点为根的子树的区间就是\((dfn[x],dfn[x]+size[x]-1)\)

#define RG register
#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
const int N=1e5+5;
inline int read()
{
    RG int x=0,w=1;RG char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x*w;
}
int n,m,r,p,cnt,ct;
int lazy[N<<2],sum[N<<2];
int val[N],size[N],son[N],fa[N],dfn[N],rk[N],last[N],dep[N],top[N];
struct edge{
    int to,next,w;
}e[N<<1];
void insert(int u,int v)
{
    e[++cnt]=(edge){v,last[u]};last[u]=cnt;
    e[++cnt]=(edge){u,last[v]};last[v]=cnt;
}
inline void dfs1(int now)
{
    size[now]=1;
    for(int i=last[now];i;i=e[i].next)
    {
        int v=e[i].to;
        if(v==fa[now])continue;
		fa[v]=now;
		dep[v]=dep[now]+1;
		dfs1(v);
		size[now]+=size[v];
		if(size[v]>size[son[now]])son[now]=v;
    }
}
inline void dfs2(int now,int Top)
{
    top[now]=Top;dfn[now]=++ct;rk[ct]=now;
    if(son[now])dfs2(son[now],Top);//重儿子
    for(int i=last[now];i;i=e[i].next)
    {
        int v=e[i].to;
        if(v==son[now]||v==fa[now])continue;
        dfs2(v,v);//轻儿子的top就是本身
    }
}
inline void Pushup(int root){sum[root]=(sum[root<<1]+sum[root<<1|1])%p;}
void Build(int root,int l,int r)//建树
{
    if(l==r){sum[root]=val[rk[l]];return;}
	int mid=(l+r)>>1;
    Build(root<<1,l,mid);
    Build(root<<1|1,mid+1,r);
    Pushup(root);
}
inline void Pushdown(int root,int len)//下放懒标记,len为区间长度
{
    if(!lazy[root])return;
	lazy[root<<1]=(lazy[root<<1]+lazy[root])%p;
	lazy[root<<1|1]=(lazy[root<<1|1]+lazy[root])%p;
	sum[root<<1]=(sum[root<<1]+lazy[root]*(len-(len>>1))%p)%p;
	sum[root<<1|1]=(sum[root<<1|1]+lazy[root]*(len>>1)%p)%p;
	lazy[root]=0;
}
void Modify(int root,int l,int r,int ll,int rr,int k)//区间修改
{
    Pushdown(root,r-l+1);
    if(ll<=l&&r<=rr)
    {
        lazy[root]=(lazy[root]+k)%p;
        sum[root]=(sum[root]+k*(r-l+1)%p)%p;
        return;
    }
	int mid=(l+r)>>1;
    if(ll<=mid)Modify(root<<1,l,mid,ll,rr,k);
    if(rr>mid)Modify(root<<1|1,mid+1,r,ll,rr,k);
    Pushup(root);
}
int Query(int root,int l,int r,int ll,int rr)//区间查询
{
    Pushdown(root,r-l+1);
    if(ll<=l&&r<=rr)return sum[root];
	int mid=(l+r)>>1,Sum=0;
    if(ll<=mid)Sum=(Sum+Query(root<<1,l,mid,ll,rr))%p;
    if(mid<rr)Sum=(Sum+Query(root<<1|1,mid+1,r,ll,rr))%p;
    Pushup(root);
    return Sum;
}
inline void Modify_Tree(int x,int y,int k)//修改节点x到节点y路径上点的点权
{
    while(top[x]!=top[y])//不在同一条链上
    {
        if(dep[top[x]]<dep[top[y]])swap(x,y);//注意是比较链顶的深度
        Modify(1,1,n,dfn[top[x]],dfn[x],k);//链顶更深的节点跳链
        x=fa[top[x]];
    }
    if(dep[x]>dep[y])swap(x,y);
    Modify(1,1,n,dfn[x],dfn[y],k);//同一条链上,直接区间查询
}
inline int Query_Tree(int x,int y)//查询节点x到节点y路径上点权和
{
    int Sum=0;
    while(top[x]!=top[y])
    {
        if(dep[top[x]]<dep[top[y]])swap(x,y);
        Sum=(Sum+Query(1,1,n,dfn[top[x]],dfn[x]))%p;
        x=fa[top[x]];
    }
    if(dep[x]>dep[y])swap(x,y);
    return (Sum+Query(1,1,n,dfn[x],dfn[y]))%p;
}
inline void Modify_Son(int x,int k)//子树修改
{
    Modify(1,1,n,dfn[x],dfn[x]+size[x]-1,k);
}
inline int Query_Son(int x)
{
    return Query(1,1,n,dfn[x],dfn[x]+size[x]-1);//子树查询
}
int main()
{
    n=read(),m=read(),r=read(),p=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)val[i]=read()%p;
    for(int i=1;i<n;i++)insert(read(),read());
    dep[r]=1;
    dfs1(r);
    dfs2(r,r);
    Build(1,1,n);
    while(m--)
    {
        int f=read();
        if(f==1){int x=read(),y=read(),z=read()%p;Modify_Tree(x,y,z);}
        if(f==2)printf("%d\n",Query_Tree(read(),read()));
        if(f==3){int x=read(),y=read()%p;Modify_Son(x,y);}
        if(f==4)printf("%d\n",Query_Son(read()));
    }
    return 0;
}