Codeforces 914C Travelling Salesman and Special Numbers：数位dp

题目链接：http://codeforces.com/problemset/problem/914/C

题意：

　　对数字x进行一次操作，可以将数字x变为x在二进制下1的个数。

　　显然，一个正整数在进行了若干次操作后一定会变成1。

　　给定n,k（n用二进制表示给出，n <= 2^1000）。

　　问你有多少不超过n的正整数，将它们变为1所需的操作次数恰好为k。

题解：

　　由于n <= 2^1000，所以任何不超过n的数在进行了一次操作后，一定不超过1000。

　　所以先统计出1000以内所有数变成1所需的操作次数：f[i] = f[cal_bit(i)] + 1

　　那么最终答案 = ∑(恰好包含i个1，且不超过n的数字个数)，其中f[i] == k-1。

　　所以接下来就要求恰好包含i个1，且不超过n的数字个数：

　　　　表示状态：

　　　　　　dp[i][j][0/1]表示已经填了前i位数，用了j个1，是否与n匹配(0/1)，此时的方案数。

　　　　　　（n的最高位为第1位）

　　　　找出答案：

　　　　　　恰好包含i个1，且不超过n的数字个数 = dp[n][i][0] + dp[n][i][1]

　　　　如何转移：

　　　　　　对于dp[i][j][0]:

　　　　　　　　dp[i+1][j][0] += dp[i][j][0]

　　　　　　　　dp[i+1][j+1][0] += dp[i][j][0]

　　　　　　对于dp[i][j][1]:

　　　　　　　　如果n的第i+1位为1:

　　　　　　　　　　dp[i+1][j][0] += dp[i][j][1]

　　　　　　　　　　dp[i+1][j+1][1] += dp[i][j][1]

　　　　　　　　否则:

　　　　　　　　　　dp[i+1][j][1] += dp[i][j][1]

　　　　边界条件：

　　　　　　dp[1][0][0] = dp[1][1][1] = 1

　　　　最后统计下答案就好。

　　　　其中k==0或1的情况要特判。

AC Code:

 #include <iostream>
 #include <stdio.h>
 #include <string.h>
 #define MAX_N 1005
 #define MOD 1000000007

 using namespace std;

 int n,k;
 int ans=;
 int a[MAX_N];
 int f[MAX_N];
 int dp[MAX_N][MAX_N][];
 string s;

 void read()
 {
     cin>>s>>k;
     n=s.size();
     for(int i=;i<n;i++) a[i+]=s[i]-'';
 }

 int cal_bit(int x)
 {
     int cnt=;
     int lowbit=x&-x;
     while(lowbit)
     {
         cnt++;
         x^=lowbit;
         lowbit=x&-x;
     }
     return cnt;
 }

 void cal_f()
 {
     f[]=;
     for(int i=;i<=;i++)
     {
         f[i]=f[cal_bit(i)]+;
     }
 }

 void cal_dp()
 {
     memset(dp,,sizeof(dp));
     dp[][][]=dp[][][]=;
     for(int i=;i<n;i++)
     {
         for(int j=;j<=i;j++)
         {
             if(dp[i][j][])
             {
                 dp[i+][j][]+=dp[i][j][];
                 dp[i+][j+][]+=dp[i][j][];
                 dp[i+][j][]%=MOD;
                 dp[i+][j+][]%=MOD;
             }
             if(dp[i][j][])
             {
                 if(a[i+])
                 {
                     dp[i+][j][]+=dp[i][j][];
                     dp[i+][j+][]+=dp[i][j][];
                     dp[i+][j][]%=MOD;
                     dp[i+][j+][]%=MOD;
                 }
                 else
                 {
                     dp[i+][j][]+=dp[i][j][];
                     dp[i+][j][]%=MOD;
                 }
             }
         }
     }
 }

 void cal_ans()
 {
     for(int i=;i<=;i++)
     {
         if(f[i]==k-)
         {
             ans+=dp[n][i][]+dp[n][i][];
             ans%=MOD;
         }
     }
 }

 void work()
 {
     if(k==)
     {
         cout<<<<endl;
         return;
     }
     cal_f();
     cal_dp();
     cal_ans();
     if(k==) cout<<ans-<<endl;
     else cout<<ans<<endl;
 }

 int main()
 {
     read();
     work();
 }