HDU 4055 Number String：前缀和优化dp【增长趋势——处理重复选数】

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4055

题意：

　　给你一个由'I', 'D', '?'组成的字符串，长度为n，代表了一个1~n+1的排列中（数字不重复），相邻数字的增长趋势。（'I'为增，'D'为减，'?'为未知）

　　问你符合条件的数列有多少种。

题解：

　　表示状态：

　　　　dp[i][j] = combinations

　　　　表示长度为i的排列（由1~i组成），末尾为j，这样的排列的个数

　　找出答案：

　　　　ans = ∑ dp[n][1 to n]

　　如何转移：

　　　　先考虑增长('I')。

　　　　对于dp[i][j]，是由dp[i-1][k with k < j]在末尾添加一个j得到的。

　　　　也就是：

　　　　　　dp[i][j] = ∑ dp[i-1][1 to j-1]

　　　　可是在dp[i-1][k with k < j]的数列中，由可能j已经选过。

　　　　为了处理这种情况，可以想成将原来数列中 >= j的数都+1。

　　　　这样并不影响原数列的增长性，也不影响答案。

　　　　对于'D'和'?'同理：

　　　　　　D: dp[i][j] = ∑ dp[i-1][j to i-1]

　　　　　　?: dp[i][j] = ∑ dp[i-1][1 to i-1]

AC Code:

 // state expression:
 // dp[i][j] = combinations
 // i: considering ith num
 // j: last num
 //
 // find the answer:
 // sigma dp[n][1 to n]
 //
 // transferring:
 // if increase
 // dp[i][j] = sigma dp[i-1][1 to j-1]
 // if decrease
 // dp[i][j] = sigma dp[i-1][j+1 to i-1]
 //
 // boundary:
 // dp[1][1] = 1
 // others = 0
 #include <iostream>
 #include <stdio.h>
 #include <string.h>
 #define MAX_N 1005
 #define MOD 1000000007

 using namespace std;

 int n;
 int ans;
 int dp[MAX_N][MAX_N];
 int sum[MAX_N][MAX_N];
 string s;

 int cal_mod(int a)
 {
     return (a%MOD+MOD)%MOD;
 }

 int cal_sum(int i,int x,int y)
 {
     if(x>y) return ;
     if(x==) return sum[i][y];
     return cal_mod(sum[i][y]-sum[i][x-]);
 }

 void update_sum(int i,int j,int a)
 {
     if(j==) sum[i][j]=cal_mod(a);
     else sum[i][j]=cal_mod(sum[i][j-]+a);
 }

 void solve()
 {
     n=s.size()+;
     memset(dp,,sizeof(dp));
     memset(sum,,sizeof(sum));
     dp[][]=;
     for(int i=;i<=n;i++) sum[][i]=;
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         for(int j=;j<=i;j++)
         {
             if(s[i-]=='I') dp[i][j]=cal_sum(i-,,j-);
             else if(s[i-]=='D') dp[i][j]=cal_sum(i-,j,i-);
             else dp[i][j]=cal_sum(i-,,i-);
             update_sum(i,j,dp[i][j]);
         }
     }
     ans=cal_sum(n,,n);
 }

 void print()
 {
     cout<<ans<<endl;
 }

 int main()
 {
     while(cin>>s)
     {
         solve();
         print();
     }
 }