【转载】【树形DP】【数学期望】Codeforces Round #362 (Div. 2) D.Puzzles

期望计算的套路：

1、定义：算出所有测试值的和，除以测试次数。

2、定义：算出所有值出现的概率与其乘积之和。

3、用前一步的期望，加上两者的期望距离，递推出来。

题意：

一个树，dfs遍历子树的顺序是随机的。所对应的子树的dfs序也会不同。输出每个节点的dfs序的期望

 

思路：

分析一颗子树：

当前已知节点1的期望为1.0 ->anw[1]=1.0

需要通过节点1递推出节点2、4、5的期望值

1的儿子分别是2、4、5，那么dfs序所有可能的排列是6种：

1：1-2-4-5  （2、4、5节点的儿子没有写出）

2：1-2-5-4

3：1-4-2-5

4：1-4-5-2

5：1-5-2-4

6：1-5-4-2

计算节点2的期望值得时候，当节点2的前面已经排列了num个点，那么节点2的dfs序就要增加num

所以anw[2]的计算分为两部分，第一部分是：anw[2]=anw[1]+1  （节点1通过1步直接到达儿子2、4、5）

第二部分是：当节点1到达节点2的时候贡献是0，种类分别对应(1、2)

      当先到达节点4后到节点2的时候贡献(size(4)+size(4)+szie(5))，种类分别对应(3、4)

      当先到达节点5后到节点2的时候贡献(size(5)+size(5)+size(4))，种类分别对应(5、6)

而所有的排列对于的概率都是1/6，所以第二部分的贡献就是（0+size(4)*3+size(5)*3）/6 = (size(4)+size(5))/2

仔细推理几颗子树之后：发现anw[v]=anw[u]+1.0+(sz[u]-sz[v]-1)/2.0。

anw[u]+1.0对应第一部分  (sz[u]-sz[v]-1)/2.0 表示的是当前能排在节点v前面的u的儿子的总数  *  0.5

对比1-6的6种排列，任意儿子a、b  ，满足a在b前面的概率是0.5  

转自http://blog.csdn.net/libin66/article/details/51918509

代码懒得写了，转自同源：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<vector>
#include <ctime>
#include<queue>
#include<set>
#include<map>
#include<stack>
#include<iomanip>
#include<cmath>
#define mst(ss,b) memset((ss),(b),sizeof(ss))
#define maxn 0x3f3f3f3f
#define MAX 1000100
///#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
#define INF (1ll<<60)-1
using namespace std;
int n;
struct edge{
    int v,next;
}e[500100];
int head[100100],tot=0;
void Add(int u,int v){
    e[tot].v=v;
    e[tot].next=head[u];
    head[u]=tot++;
}
int sz[100100];
void DFS(int u,int fa){
    sz[u]=1;
    for(int i=head[u];i!=-1;i=e[i].next){
        int v=e[i].v;
        if(v==fa) continue;
        DFS(v,u);
        sz[u]+=sz[v];
    }
}
double anw[100100];
void DFS1(int u,int fa){
    for(int i=head[u];i!=-1;i=e[i].next){
        int v=e[i].v;
        if(v==fa) continue;
        anw[v]=anw[u]+1.0+(sz[u]-sz[v]-1)*1.0/2.0;
        DFS1(v,u);
    }
}
int main(){
    mst(head,-1);
    scanf("%d",&n);
    for(int i=2;i<=n;i++){
        int x;
        scanf("%d",&x);
        Add(x,i);
        Add(i,x);
    }
    DFS(1,0);
    anw[1]=1.0;
    DFS1(1,0);
    for(int i=1;i<=n;i++) printf("%.2f ",anw[i]);
    return 0;
}