poj 1077 Eight (八数码问题——A*+cantor展开+奇偶剪枝)
题目来源:
http://poj.org/problem?id=1077
题目大意:
给你一个由1到8和x组成的3*3矩阵,x每次可以上下左右四个方向交换。求一条路径,得到12345678x这样的矩阵。若没有路径,则输出unsolvable。
经典的八数码问题。
这题我用A*算法做的。推荐一篇博客,从大体上介绍了一下启发式算法的代表A*算法:
https://www.cnblogs.com/zhoug2020/p/3468167.html
首先就是判重的问题,搜索的状态是九个数(含x),开个九重数组也不是不可以,但用cantor展开hash一下还是方便的。所谓cantor展开,就是对1..n的所有排列,唯一对应一个1..n!的值。
cantor展开解决互不相同的元素的全排列问题(互不相同就可以了)。代码中的cantor展开,可以当做模板用。
康托展开的公式是 X=a1*(n-1)!+a2*(n-2)!+...+ai*(i-1)!+...+an-1*1!+an*0! 其中,ai为当前元素比之后多少个元素大。
其实理解公式很简单,给你排列2,4,1,5,3,你可以这么想,第一个放2,说明1开头的都排完了,至少比4!种排列靠后了,第二个数是4,说明2,1开头和2,3开头的都排过了,又比2*3!种排列靠后了。以此类推。。
其次就是奇偶剪枝了。奇偶剪枝是一个常见的预判断的方法。接下来详细阐述一下:
1、逆序数的概念
给定数列a[1..n],记LESS(i)为a[i+1]到a[n]中比a[i]小的数的个数,则逆序数为∑LESS(i)。比如有数列a[1..5]=[3,7,2,19,2],则LESS(1)到LESS(5)分别为2,2,0,1,0,所以逆序数为2+2+0+1+0=5。
2、树状数组(线段树)求逆序数
将值val与序号id放在结构体中一起排序,先按值的升序排列,值相同时,再按序号升序排列(这样后面求LESS值的时候不会把相同的数算进去)。
比如a[1..5]=[3,7,2,19,2],排序成[2:3,2:5,3:1,7:2,19:4](冒号后为排序用结构体里的id)。
然后维护[1..n]的树状数组。初始全为0,顺序遍历排好序的结构体,将id处的值变为1,并查询i+1到n的和,即可得到LESS值,再将LESS值求和,即可。
比如上例顺序执行可得LESS(3)=0,LESS(5)=0,LESS(1)=2,LESS(2)=2,LESS(4)=1。逆序数为5。
3、八数码的奇偶剪枝
对于1..n的排列,交换相邻的元素,逆序数奇偶性一定改变。所以如果将八数码中的x视作9的话,八数码可以看成是1..9的排列。左右交换,是一次相邻元素的交换,上下交换,可以看成3+2=5次相邻交换,逆序数奇偶性一定改变。
现在我们改变一下1中对LESS(i)的定义,重定义为对于数i,LESS(i)为从它的位置到最后比它小的数的个数。由于现在的排列没有相同的数,所以求和得到的逆序数是不变的。
如果从1..9的排列中除去9,可以发现1..8的LESS值不变,而上下/左右交换前后LESS(9)的奇偶性一定改变,又结合之前交换前后逆序数奇偶性改变,得到1..8逆序数奇偶性不变。
还有一个15迷的问题,奇偶剪枝也是一样的分析思路,只是加了个辅助量。
最后就是Astar算法本身了:
首先需要一个优先队列。由于对优先级的需要,我们需要在结构体中对<运算符进行重载(详见代码)。
然后结构体中存储路径最好还是用string吧,毕竟vector还是没它方便。
好像就是这么多。搜索这种东西,复杂度比较难把握,所以能优化的地方尽量优化一下吧。比如搜索方向,感觉还是先搜索down和right比较好,虽然可能效果不太明显。
这道题还要继续做。hdu1043还没A掉,双向BFS,还有什么打表方法还没有尝试写呢。加上!!!,表示要记得做!
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<queue>
#include<cstring> using namespace std; char buf[];
int puz[]; int fac[]={,,,,,,,,,};
int cantor(int s[])
{
int sum=;
for(int i=;i<;i++)
{
int num=;
for(int j=i+;j<;j++)
if(s[j]<s[i])
num++;
sum+=(num*fac[-i-]);
}
return sum+;
} struct tnode
{
int puz[];
string path;
int loc;//0的位置
int status;//cantor展开值
int n;//搜索深度
int f;//估值函数
int getloc()
{
for(int i=;i<;i++)
if(puz[i]==)
return i;
}
bool operator<(const tnode& y) const
{
return f>y.f;
}
};
int vis[];
int dis[]={,,,,,,,,};
int a[]={,,-,-};
char b[]="rdlu"; int aim=; int main()
{
while(scanf("%[^\n]",buf)!=EOF)
{
getchar(); for(int i=,cnt=;buf[i]!='\0';i++)
{
if(buf[i]=='x')
puz[cnt++]=;//用0存储x
else if(buf[i]>=''&&buf[i]<='')
puz[cnt++]=buf[i]-'';
}
//for(int i=0;i<9;i++) printf("%d ",puz[i]); printf("\n");
//printf("%d\n",cantor(puz)); int cnt=;
for(int i=;i<;i++)
if(puz[i]!=)
{
for(int j=i+;j<;j++)
if(puz[j]!=&&puz[j]<puz[i])
cnt++;
}
if(cnt%==)
{
printf("unsolvable\n");
continue;
} priority_queue<tnode> q;
memset(vis,,sizeof(vis));
tnode node1;
memcpy(node1.puz,puz,sizeof(puz));
node1.path="";
node1.loc=node1.getloc();
node1.status=cantor(node1.puz);
node1.n=;
node1.f=node1.n+dis[node1.loc];
if(node1.status==aim)//入队之前先判断,可以加快速度
{
cout<<node1.path<<endl;
continue;
}
q.push(node1);
vis[node1.status]=;
bool flag=false;
while(!q.empty())
{
tnode node2=q.top();q.pop();
bool fflag=false;
for(int i=;i<;i++)
{
tnode node3=node2;
//printf("%d ",node3.loc);
if(a[i]==&&node3.loc%<=)
{
node3.puz[node3.loc]=node3.puz[node3.loc+a[i]];
node3.puz[node3.loc+a[i]]=;
node3.status=cantor(node3.puz);
}
else if(a[i]==-&&node3.loc%>=)
{
node3.puz[node3.loc]=node3.puz[node3.loc+a[i]];
node3.puz[node3.loc+a[i]]=;
node3.status=cantor(node3.puz);
}
else if(a[i]==&&node3.loc<=)
{
node3.puz[node3.loc]=node3.puz[node3.loc+a[i]];
node3.puz[node3.loc+a[i]]=;
node3.status=cantor(node3.puz);
}
else if(a[i]==-&&node3.loc>=)
{
node3.puz[node3.loc]=node3.puz[node3.loc+a[i]];
node3.puz[node3.loc+a[i]]=;
node3.status=cantor(node3.puz);
}
//printf("%d ",node3.status);
if(!vis[node3.status])
{
node3.path+=b[i];
node3.loc=node3.getloc();
node3.n++;
node3.f=node3.n+dis[node3.loc];
q.push(node3);
vis[node3.status]=;
}
if(node3.status==aim)
{
node1=node3;
fflag=true;
break;
}
}
if(fflag)
{
flag=true;
break;
}
} if(flag)
{
cout<<node1.path<<endl;
}
else
{
printf("unsolvable\n");
}
}
return ;
}
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