poj 1077 Eight (八数码问题——A*+cantor展开+奇偶剪枝)

题目来源：

http://poj.org/problem?id=1077

题目大意：

给你一个由1到8和x组成的3*3矩阵，x每次可以上下左右四个方向交换。求一条路径，得到12345678x这样的矩阵。若没有路径，则输出unsolvable。

经典的八数码问题。

这题我用A*算法做的。推荐一篇博客，从大体上介绍了一下启发式算法的代表A*算法：

https://www.cnblogs.com/zhoug2020/p/3468167.html

首先就是判重的问题，搜索的状态是九个数（含x），开个九重数组也不是不可以，但用cantor展开hash一下还是方便的。所谓cantor展开，就是对1..n的所有排列，唯一对应一个1..n!的值。

cantor展开解决互不相同的元素的全排列问题（互不相同就可以了）。代码中的cantor展开，可以当做模板用。

康托展开的公式是 X=a1*(n-1)!+a2*(n-2)!+...+ai*(i-1)!+...+an-1*1!+an*0! 其中，ai为当前元素比之后多少个元素大。

其实理解公式很简单，给你排列2,4,1,5,3，你可以这么想，第一个放2，说明1开头的都排完了，至少比4！种排列靠后了，第二个数是4，说明2,1开头和2,3开头的都排过了，又比2*3！种排列靠后了。以此类推。。

其次就是奇偶剪枝了。奇偶剪枝是一个常见的预判断的方法。接下来详细阐述一下：

1、逆序数的概念

给定数列a[1..n]，记LESS(i)为a[i+1]到a[n]中比a[i]小的数的个数，则逆序数为∑LESS(i)。比如有数列a[1..5]=[3,7,2,19,2]，则LESS(1)到LESS(5)分别为2,2,0,1,0，所以逆序数为2+2+0+1+0=5。

2、树状数组（线段树）求逆序数

将值val与序号id放在结构体中一起排序，先按值的升序排列，值相同时，再按序号升序排列（这样后面求LESS值的时候不会把相同的数算进去）。

比如a[1..5]=[3,7,2,19,2]，排序成[2:3,2:5,3:1,7:2,19:4]（冒号后为排序用结构体里的id）。

然后维护[1..n]的树状数组。初始全为0，顺序遍历排好序的结构体，将id处的值变为1，并查询i+1到n的和，即可得到LESS值，再将LESS值求和，即可。

比如上例顺序执行可得LESS(3)=0,LESS(5)=0,LESS(1)=2,LESS(2)=2,LESS(4)=1。逆序数为5。

3、八数码的奇偶剪枝

对于1..n的排列，交换相邻的元素，逆序数奇偶性一定改变。所以如果将八数码中的x视作9的话，八数码可以看成是1..9的排列。左右交换，是一次相邻元素的交换，上下交换，可以看成3+2=5次相邻交换，逆序数奇偶性一定改变。

现在我们改变一下1中对LESS(i)的定义，重定义为对于数i，LESS(i)为从它的位置到最后比它小的数的个数。由于现在的排列没有相同的数，所以求和得到的逆序数是不变的。

如果从1..9的排列中除去9，可以发现1..8的LESS值不变，而上下/左右交换前后LESS(9)的奇偶性一定改变，又结合之前交换前后逆序数奇偶性改变，得到1..8逆序数奇偶性不变。

还有一个15迷的问题，奇偶剪枝也是一样的分析思路，只是加了个辅助量。

最后就是Astar算法本身了：

首先需要一个优先队列。由于对优先级的需要，我们需要在结构体中对<运算符进行重载（详见代码）。

然后结构体中存储路径最好还是用string吧，毕竟vector还是没它方便。

好像就是这么多。搜索这种东西，复杂度比较难把握，所以能优化的地方尽量优化一下吧。比如搜索方向，感觉还是先搜索down和right比较好，虽然可能效果不太明显。

这道题还要继续做。hdu1043还没A掉，双向BFS，还有什么打表方法还没有尝试写呢。加上！！！，表示要记得做！

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<queue>
#include<cstring>

using namespace std;

char buf[];
int puz[];

int fac[]={,,,,,,,,,};
int cantor(int s[])
{
    int sum=;
    for(int i=;i<;i++)
    {
        int num=;
        for(int j=i+;j<;j++)
          if(s[j]<s[i])
            num++;
        sum+=(num*fac[-i-]);
    }
    return sum+;
}

struct tnode
{
    int puz[];
    string path;
    int loc;//0的位置
    int status;//cantor展开值
    int n;//搜索深度
    int f;//估值函数
    int getloc()
    {
        for(int i=;i<;i++)
            if(puz[i]==)
                return i;
    }
    bool operator<(const tnode& y) const
    {
        return f>y.f;
    }
};
int vis[];
int dis[]={,,,,,,,,};
int a[]={,,-,-};
char b[]="rdlu";

int aim=;

int main()
{
    while(scanf("%[^\n]",buf)!=EOF)
    {
        getchar();

        for(int i=,cnt=;buf[i]!='\0';i++)
        {
            if(buf[i]=='x')
                puz[cnt++]=;//用0存储x
            else if(buf[i]>=''&&buf[i]<='')
                puz[cnt++]=buf[i]-'';
        }
        //for(int i=0;i<9;i++) printf("%d ",puz[i]); printf("\n");
        //printf("%d\n",cantor(puz));

        int cnt=;
        for(int i=;i<;i++)
            if(puz[i]!=)
            {
                for(int j=i+;j<;j++)
                    if(puz[j]!=&&puz[j]<puz[i])
                        cnt++;
            }
        if(cnt%==)
        {
            printf("unsolvable\n");
            continue;
        }

        priority_queue<tnode> q;
        memset(vis,,sizeof(vis));
        tnode node1;
        memcpy(node1.puz,puz,sizeof(puz));
        node1.path="";
        node1.loc=node1.getloc();
        node1.status=cantor(node1.puz);
        node1.n=;
        node1.f=node1.n+dis[node1.loc];
        if(node1.status==aim)//入队之前先判断，可以加快速度
        {
            cout<<node1.path<<endl;
            continue;
        }
        q.push(node1);
        vis[node1.status]=;
        bool flag=false;
        while(!q.empty())
        {
            tnode node2=q.top();q.pop();
            bool fflag=false;
            for(int i=;i<;i++)
            {
                tnode node3=node2;
                //printf("%d ",node3.loc);
                if(a[i]==&&node3.loc%<=)
                {
                    node3.puz[node3.loc]=node3.puz[node3.loc+a[i]];
                    node3.puz[node3.loc+a[i]]=;
                    node3.status=cantor(node3.puz);
                }
                else if(a[i]==-&&node3.loc%>=)
                {
                    node3.puz[node3.loc]=node3.puz[node3.loc+a[i]];
                    node3.puz[node3.loc+a[i]]=;
                    node3.status=cantor(node3.puz);
                }
                else if(a[i]==&&node3.loc<=)
                {
                    node3.puz[node3.loc]=node3.puz[node3.loc+a[i]];
                    node3.puz[node3.loc+a[i]]=;
                    node3.status=cantor(node3.puz);
                }
                else if(a[i]==-&&node3.loc>=)
                {
                    node3.puz[node3.loc]=node3.puz[node3.loc+a[i]];
                    node3.puz[node3.loc+a[i]]=;
                    node3.status=cantor(node3.puz);
                }
                //printf("%d ",node3.status);
                if(!vis[node3.status])
                {
                    node3.path+=b[i];
                    node3.loc=node3.getloc();
                    node3.n++;
                    node3.f=node3.n+dis[node3.loc];
                    q.push(node3);
                    vis[node3.status]=;
                }
                if(node3.status==aim)
                {
                    node1=node3;
                    fflag=true;
                    break;
                }
            }
            if(fflag)
            {
                flag=true;
                break;
            }
        }

        if(flag)
        {
            cout<<node1.path<<endl;
        }
        else
        {
            printf("unsolvable\n");
        }
    }
    return ;
}