$POJ2942\ Knights\ of\ the\ Round\ Table$ 图论

正解:图论

解题报告:

传送门!

一道,综合性比较强的题(我是萌新刚学$OI$我只是想练下$tarjan$,,,$QAQ$

考虑先建个补图,然后现在就变成只有相互连边的点不能做邻居.所以如果有$K$个数能依题目要求坐一张长桌上,就一定是这$K$个数在图上是一个奇环.

所以现在题目就转化成了求所有不在任何一个奇环的点的数量.

引理一.若两个点属于两个不同的$v-DCC$,则他们不可能在一个环上.

考虑反证法,若$x$在编号$bl_x$的$v-DCC$中,$y$在编号为$bl_y$的$v-DCC$中,且$bl_x\not=bl_y$,$xy$在一个环上.

则由$v-DCC$的性质可得,除去图上任意一点$x$与编号为$bl_x$的$v-DCC$中的点依然联通,$y$与编号为$bl_y$的$v-DCC$中的点依然联通.再由环的性质得,出去图上任意一点$xy$依然联通.

所以有出去图上任意一点编号为$bl_x$的$v-DCC$与编号为$bl_y$的$v-DCC$整体都联通.

所以这两个就可以再合并为一个$v-DCC$.这就不满足$v-DCC$的极大性了.所以$xy$不可能在一个环上.

证毕.

引理二.若一个$v-DCC$中存在奇环,则整个$v-DCC$中的所有点都在奇环上.

这不随便证下就完事.因为奇环的长度为奇数,所以一定是由两条奇偶性不同的路径组成.所以不属于奇环的那一段无论奇偶性如何一定可以构造出一个基环.

证毕.

所以只要$tarjan$求个$v-DCC$,然后判下是否有奇环就成.

判奇环可以二分图染色,$QwQ$

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