Real-Rime Rendering (2) - 变换和矩阵（Translation and Matrics）

提要

在图形的计算中，比如旋转、缩放、平移、投影等操作，矩阵都扮演着极其重要的角色，它是操作图元的基本工具。虽然很多的图形API已经封装好了这些矩阵操作，但是理解这些矩阵操作的原理会非常非常有帮助，比如说我们可以通过一些矩阵的快捷计算来加速你的代码。

如果你有一些线性代数的基础，看下面的内容的时候也不会很轻松，因为有点难且比较没意思，如果没有修过这门课，最好把线性代数这本书拿来看看，因为这些东西真是基础中的基础，而且非常的重要。

齐次记法（Homogeneous Notation）

空间一个点对应的是一个空间的位置，一个向量对应一个方向，两者都可以用一个三维向量 V = （Vx, Vy, Vz）来表示.

这两者如果对于变换（比如旋转，缩放），用一个 3*3 矩阵就可以搞定，但对于平移变换就不适用了，因为位置变换对于向量是没有意义的，而对于点才是有意义的。

齐次记法就是用来解决这个问题的。

在齐次记法下，空间点记为 P = （Px, Py, Pz, Pw）, 其中Pw = 1。

空间向量记为 V = （Vx, Vy, Vz, Vw）,其中Vw = 0.

当出现Pw！=0 且Pw ！= 1时，就需要将坐标齐次化了，做法是同除以Pw,记为（Px/Pw, Py/Pw, Pz/Pw, 1）.

齐次记法下的变换矩阵如下所示：

给定一个移动变换矩阵

对于一个向量 V = （Vx, Vy, Vz, Vw）和 T 相乘之后各值不变。

对于一个点 P = （Px, Py, Pz, Pw）和 T 相乘之后结果变为 (Px+tx, Py+ty， Pz+tz， 1).

基础变换

基础的变换包括平移，旋转，缩放，切变，反射，投影等，下面一个个来看。

平移变换

上面已经提到了，平移矩阵用T来表示：

tx，ty和tz分别表示向x，y，z方向移动的距离,如图

注意这个仿射矩阵（Offine Tranform Matrics）对于空间向量是没有作用的。

其逆矩，表示向相反的方向移动。

旋转矩阵 Rotating

旋转变幻是指绕着一个轴旋转一定的角度，绕x，y，z旋转的旋转矩阵可以记为：

逆阵 , 表示绕同一个轴按相反的方向旋转相同的角度。

旋转矩阵的行列式都为1，因为它是正交矩阵。

关于图形（或物体）绕自身的某点旋转，其真实的过程是先将物体移动到旋转点与坐标原点相重合的位置，再将图形绕原点旋转，然后再进行平移变换，平移到原先的位置。

整个矩阵计算过程为

缩放变换 Scaling

缩放就是放大和缩小，其矩阵表示为

如果 Sx = Sy = Sz，则称为等比变换（uniform）,否则就不是（nonuniform）。

其逆阵，表示按相反的方式进行缩放。

Sx，Sy，Sz中有一个为负数，则改矩阵就是反射矩阵，如果刚好有两个因子为 -1，则图形旋转。反射矩阵通常需要特殊对待，比如，对于一个三角形，经过反射变换，顶点的顺序就可能会改变，这就会影响到面的法线，光照和背面消隐等算法就会受影响。可以通过计算左上角 3*3 矩阵的行列式的值来进行判断，若行列式的值为负，则是反射矩阵。

切变变换 Shearing

切变变换可以用于游戏中，制作出爆炸的时候画面抖动的效果，一共有六种：

第一个下标表示要改变的坐标轴，第二个下标表示沿着那个坐标轴变换。相关的矩阵也可以由此得出：第一个下标决定行，第二个决定列，则有：

效果如下：

其逆阵：

级联变换 Concatenation of Transforms

由于矩阵乘法是没有交换率的，所以矩阵相乘的顺序非常重要，比如 S（2, 0.5, 1）和 , 根据它们执行的顺序不同，得到的结果也会不一样。

将多个矩阵整合到一起的另一个好处是提高了效率，一般的顺序时 TRS。

欧拉变换 Euler TransForm

欧拉变换可以将物体旋转到任意的方向，一个欧拉变换可以分为三个分量 h(ead), p(ich), r(oll)，记为E（h，p，r）。

其实就是三个旋转矩阵的级联矩阵：，由于都为对称阵，其逆阵 = 。

使用欧拉变换的时候会出现一个很蛋疼的问题-gimbal lock，可以看看这个视频- youtube video explaining gimbal lock

还会出现的一个问题就是两个欧拉角之间的插值问题。

为了避免万圣节锁，一个方法是设定好旋转轴的旋转顺序。

另一中方法是使用四元组。

参考

wiki.变换矩阵 - http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%98%E6%8D%A2%E7%9F%A9%E9%98%B5#.E4.BB.BF.E5.B0.84.E5.8F.98.E6.8D.A2

Real-Time Rendering 3rd

Fundamentals of Computer Graphics 2rd