《Mathematical Olympiad——组合数学》——染色问题

恢复  继续关于《Mathematical Olympiad——组合数学》中问题的分析，这一篇文章将介绍有关染色的问题。

问题一：

将一些石头放入10行14列的矩形方格表内，允许在每个单元格内放入石头的数目多于1块，然后发现每一行每一列上均有奇数块石头。若将矩形方格表上的单元格相间地染为黑色和白色，证明：在黑色单元格上石头的数目共有偶数块。

分析：我们考虑利用反证法来完成证明。即黑色单元格上的石头数目共有奇数块。

我们先假设该矩形方格奇行奇列、偶行偶列是黑色，并设奇行奇列有k1个奇数个石子的格子，偶行偶列有k2个奇数个石子的格子，奇行偶列有k3个奇数个的格子。

由每一行共有奇数块石头，共有10行，有5个奇数行，可知奇数行的石子数目是奇数，有k1 + k3  ≡ 1(mod 2) ①

类似的，由每一列共有奇数块石头，共有14列，共有7个偶数列，可是偶数列的石头数目是奇数，有k3 + k2 ≡1(mod 2) ②

基于反证过程的假设，即k1 + k2 ≡ 1(mod 2) ③

①+②+③,有2(k1+k2+k3) ≡ 1(mod 2)，显然是不可能的，因此假设是不成立的。

同样的如果我们假设矩阵方格奇行偶列、偶行奇列是黑色，做相同的分析，在设置变量的时候需要作出相应的改动，便可以得到相同的结论。

证毕。

问题二：

将圆周上的所有点要么染成黑色，要么染成白色。

(1)证明：存在一个等腰三角形，其顶点同色。

(2)是否存在一个正三角形，其顶点同色?

分析：对于(1)，我们首先基于一个内接正五边形，由抽屉原理可知，五个顶点中必有三个顶点同色，又由于任意选取正五边形的三个顶点，都会组成一个等腰三角形，得证。

对于(2)，我们只要想出一种特殊情况即可。我们找到圆上三个三等分点，将三个区段分别涂成黑、黑、白，那么很容易看到，因为等边三角形的三个顶点是圆的三等分点，所以必然分别分布在三个区间上，因此可知，顶点同色的正三角形是不一定存在的。