数论篇7——组合数 & 卢卡斯定理（Lucas）

组合数

组合数就是高中排列组合的知识，求解组合数C(n,m)，即从n个相同物品中取出m个的方案数。

求解方式

求解通式：$C^{m}_{n}=\dfrac {n!}{m!\left( n-m\right) !}$

性质1：$C^{m}_{n}=C_{n}^{n-m}$

性质2：$C^{m}_{n}=C^{m-1}_{n-1}-i+C^{m}_{n-1}$

打表递推

根据性质2：$C^{m}_{n}=C^{m-1}_{n-1}+C^{m}_{n-1}$

组合数算出来特别大，往往都会要求取余，这里取$P=1e9+7$。时间复杂度$O(n^2)$

;
#define N 1000
int comb[N][N];

int main() {
    ; i < N; i++) {
        comb[i][] = comb[i][i] = ;
        ; j < i; j++) {
            comb[i][j] = comb[i - ][j] + comb[i - ][j - ];
            comb[i][j] %= P;
            //cout << comb[i][j] << endl;
        }
    }
}

逆元法

因为大部分题都有求余，可利用逆元的原理（没求余的题目，自己找一个比较大的素数作为P，也可以用逆元做）

线性递推求逆元

当$p$为质数时有$a^{-1}=(p-[p/a])\cdot (p\%a)^{-1}\%p$

求阶乘的逆元

根据通式：$C^{m}_{n}=\dfrac {n!}{m!\left( n-m\right) !}$，有$C^{m}_{n}=n!\cdot inv[m!] \cdot inv[(n-m)!]$

设 $finv(i)=inv(i\ !)$

则根据：$finv(i-1)=\frac{1}{\ (i-1)\ !}=\frac{1}{i\ !}\times i =finv(i)\times i$

有：$finv(i) = finv(i-1)\times inv(i)$

详见：数论篇4——逆元（数论倒数）

初始化时间复杂度$O(n)$，求$C^{m}_{n}$为$O(1)$

;
;
], Finv[N+], inv[N+];//fact是阶乘，Finv是阶乘的逆元
void init() {
    inv[] = ;
    //线性递推求逆元
    ; i <= N; i++) {
        inv[i] = (P - P / i) * 1ll * inv[P % i] % P;
    }
    fact[] = Finv[] = ;
    ; i < N; i++) {
        fact[i] = fact[i - ] * 1ll * i % P;//求阶乘
        Finv[i] = Finv[i - ] * 1ll * inv[i] % P;//求阶乘的逆元
    }
}
int C(int n, int m) {//comb(n, m)就是C(n, m)
     || m > n) ;
    return fact[n] * 1ll * Finv[n - m] % P * Finv[m] % P;
}

卢卡斯定理

现在有了新问题，如果$n$和$m$非常大，$p$为素数，比如求$C_n^m \% p \ ,\ n\leqslant 10^{18},m\leqslant 10^{18},p\leqslant 10^{9}$

$C_n^m\ \%\ p  =  C(n / p, m / p) * C(n\ \%\ p, m\ \%\ p)\ \%\  p$

或者写成这样更准确$Lucas(n,m)\ \%\ p=Lucas(n/p,m/p)*C(n\ \%\ p,m\ \%\ p)\ \%\ p$

证明请看此 lucas_百度百科，没仔细看证明，所以对不对我也不知道。

写成递归，代码就这么短：

LL Lucas(LL n, LL m, int p){
         ;
}

具体C的实现要看情况。

P较小时，打表

typedef long long ll;
const int N = 1e5 ;
;//取一个小于N的素数
ll fact[P + ], inv[P + ], Finv[P + ];//阶乘打表

void init() {
    inv[] = ;
    //线性递推求逆元
    ; i <= P; i++) {
        inv[i] = (P - P / i) * 1ll * inv[P % i] % P;
    }
    fact[] = Finv[] = ;
    ; i < P; i++) {
        fact[i] = fact[i - ] * 1ll * i % P;//求阶乘
        Finv[i] = Finv[i - ] * 1ll * inv[i] % P;//求阶乘的逆元
    }
}

ll C(ll n, ll m){//组合数C(n, m) % p
    ;
    return fact[n] * Finv[n - m] % P * Finv[m] % P;
}
ll Lucas(ll n, ll m){
    ;
}

P较大时，没法打表，用快速幂算逆元

typedef long long ll;

const int N = 1e9 ;
;

ll quickPower(ll a, ll b) {
    ll res = ;
    a %= P;
    while (b) {
        )res = (res % P) * (a % P) % P;
        a = (a % P) * (a % P) % P;
        b >>= ;
    }
    return res;
}
ll inv(ll x) {//x关于p的逆元，p为素数
    );
}
ll C(ll n, ll m) {
    ;
    ll up = , down = ;//分子分母;
    ; i <= n; i++)
        up = up * i % P;
    ; i <= m; i++)
        down = down * i % P;
    return up * inv(down) % P;
}
ll Lucas(ll n, ll m) {
    );
    return C(n % P, m % P) * Lucas(n / P, m / P) % P;
}