LOJ2074/2157 JSOI2016/POI2011 Lightning Conductor 决策单调性DP

传送门

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我们相当于要求出\(f_i = \max\limits_{j=1}^{n} (a_j + \sqrt{|i-j|})\)。这个绝对值太烦人了，考虑对于\(i>j\)和\(i<j\)分开做。

当\(i>j\)时，\(f_i = \max\limits_{j=1}^{i-1}(a_j + \sqrt{i-j})\)。注意到这是一个典型的\(f_i = \max\limits_{j=1}^{i-1}f_j + w(i,j)\)的形式，考虑决策单调性。不难证明\(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x} < \sqrt{x} - \sqrt{x - 1}\)，故对于决策点\(p<q , \sqrt{i+1-p} - \sqrt{i-p} < \sqrt{i+1-q} - \sqrt{i-q}\)，也就是说\(w(i+1,p) - w(i,p) < w(i+1,q) - w(i,q)\)，满足四边形不等式。

那么可以按照传统的方法，在队列中维护决策三元组\((x,l,r)\)表示当\(i \in [l,r]\)时，\(f_i = f_x + \sqrt{i-x}\)，每加入一个新的决策时在队尾弹出被当前决策代替的决策，然后在最后一个有效决策的范围上二分得到当前决策的范围。当有询问时直接拿出队头的答案即可。

代码