「模拟赛20191019」B 容斥原理+DP计数

题目描述

将$n\times n$的网格黑白染色，使得不存在任意一行、任意一列、任意一条大对角线的所有格子同色，求方案数对$998244353$取模的结果。

输入

一行一个整数$n$。

输出

一行一个整数表示答案对$998244353$取模的值。

样例

样例输入

样例输出

数据范围

对于$100\%$的数据，$1\leq n\leq 300$。

比第一题难了不知道多少……

这种东西怎么看都是容斥嘛。

我们先考虑对角线没有限制的情况：

枚举行和列有多少个是同色的，若行+列是奇数，则减去方案数，若行+列是偶数，则加上方案数，其他没有限制的点任意选，容斥一波即可（注意，若既有行又有列，则只能是同一颜色；但如果只有行或只有列则可以随意指定颜色，方案数应随之变动）。

那么有对角线该怎么办？

仍然容斥，$0$条对角线-$1$条对角线+$2$条对角线即是最终答案。其中$0$条对角线就是上述的算法。

考虑$1$条对角线的情况，不妨设是主对角线，令$f_{i,j,k}$表示考虑到前$i$行$i$列，选中了$j$行$k$列的方案数。然后考虑转移到$i+1$，则枚举选$0/1$行，$0/1$列，分别转移。但是会存在一个问题，如果既没有选择行又没有选择列，会导致判断$(i,i)$这个格子可以任选，但事实上主对角线被锁死了，所以要乘上$\frac{1}{2}$的系数。最后$DP$完后再根据$j+k$的奇偶性确定容斥系数，然后再乘上$2^{(n-j)(n-k)}$的系数表示未被考虑的格子的方案。

然后考虑$2$条对角线的情况，类似$1$条对角线，只是变成从中心开始一圈一圈往外$DP$，讨论的情况更多（并且要特判，奇数的时候两条对角线颜色必须一样，偶数的时候两条对角线颜色不必一样），就没有什么差别了。

$Code:$

#include <cstdio>

#include <cstring>

#include <iostream>

#include <algorithm>

using namespace std;

#define ll long long

#define mod 998244353

#define inv2 499122177

#define inv16 935854081

int n, f[2][305][305];

int C[305][305], mul[100005];

void Add(int &a, int b){a = (a + b) % mod;}

int Solve0()

{

	int ans = 0;

	for (int i = 0; i <= n; i++)

		for (int j = 0; j <= n; j++)

		{

			int k;

			if (!i || !j)

				k = i ^ j;

			else

				k = 1;

			int x = (n - i) * (n - j) + k;

			ans = (ans + (ll)C[n][i] * C[n][j] % mod * mul[x] % mod * (1 - (i + j) % 2 * 2) % mod) % mod;

		}

	return ans;

}

int Solve1()

{

	memset(f, 0, sizeof(f));

	int z = 0;

	f[0][0][0] = 2;

	for (int i = 0; i < n; i++)

	{

		for (int j = 0; j <= i; j++)

		{

			for (int k = 0; k <= i; k++)

			{

				Add(f[z ^ 1][j][k], (ll)f[z][j][k] * inv2 % mod);

				Add(f[z ^ 1][j][k + 1], -f[z][j][k]);

				Add(f[z ^ 1][j + 1][k], -f[z][j][k]);

				Add(f[z ^ 1][j + 1][k + 1], f[z][j][k]);

				f[z][j][k] = 0;

			}

		}

		z ^= 1;

	}

	int ans = 0;

	for (int i = 0; i <= n; i++)

		for (int j = 0; j <= n; j++)

			Add(ans, (ll)f[z][i][j] * mul[(n - i) * (n - j)] % mod);

	return ans;

}

int Solve2()

{

	memset(f, 0, sizeof(f));

	int z = 0;

	if (n & 1)

	{

		f[0][0][0] = 1;

		f[0][0][1] = f[0][1][0] = -2;

		f[0][1][1] = 2;

	}

	else

		f[0][0][0] = 2;

	for (int k = n & 1; k < n; k += 2)

	{

		for (int i = 0; i <= k; i++)

		{

			for (int j = 0; j <= k; j++)

			{

				Add(f[z ^ 1][i][j], (ll)f[z][i][j] * inv16 % mod);

				Add(f[z ^ 1][i + 1][j], -(ll)f[z][i][j] * inv2 % mod);

				Add(f[z ^ 1][i][j + 1], -(ll)f[z][i][j] * inv2 % mod);

				Add(f[z ^ 1][i + 2][j], f[z][i][j]);

				Add(f[z ^ 1][i][j + 2], f[z][i][j]);

				Add(f[z ^ 1][i + 2][j + 1], -(ll)f[z][i][j] * 2ll % mod);

				Add(f[z ^ 1][i + 1][j + 2], -(ll)f[z][i][j] * 2ll % mod);

				Add(f[z ^ 1][i + 1][j + 1], f[z][i][j] * 2ll % mod);

				Add(f[z ^ 1][i + 2][j + 2], f[z][i][j]);

				f[z][i][j] = 0;

			}

		}

		z ^= 1;

	}

	int ans = 0;

	for (int i = 0; i <= n; i++)

		for (int j = 0; j <= n; j++)

			if (!j && !i && (!(n & 1)))

				Add(ans, mul[n * (n - 2) + 2]);

			else

				Add(ans, (ll)f[z][i][j] * mul[(n - i) * (n - j)] % mod);

	return ans;

}

int main()

{

	scanf("%d", &n);

	C[0][0] = 1;

	for (int i = 1; i <= n; i++)

	{

		C[i][0] = 1;

		for (int j = 1; j <= i; j++)

			C[i][j] = (C[i - 1][j - 1] + C[i - 1][j]) % mod;

	}

	mul[0] = 1;

	for (int i = 1; i <= n * n + 1; i++)

		mul[i] = mul[i - 1] * 2 % mod;

	int ans = Solve0();

	ans = (ans - 2ll * Solve1()) % mod;

	ans = (ans + Solve2()) % mod;

	if (ans < 0)ans += mod;

	printf("%d\n", ans);

}