[CF662C]Binary Table

luogu

题意

你有一个\(n*m\)的\(01\)矩阵。你可以把任意一行或者一列的\(01\)取反。求矩阵中最少的\(1\)的数量。

\(n\le20,m\le10^5\)

sol

很自然地有一个\(O(2^nm)\)的暴力：枚举横行的取反情况，然后纵列就取\(01\)数量较少的一者。

我们记状态\(x\)在原矩阵中的出现次数为\(a[x]\)，状态中\(01\)较少一者的数量为\(b[x]\)。

会发现当最终的取反状态为\(i\)时，会有\(ans_i=\sum_{j\otimes k=i}a_j*b_k\)。

就是一个异或卷积。FWT即可。

code

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
int gi(){
	int x=0,w=1;char ch=getchar();
	while ((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-') ch=getchar();
	if (ch=='-') w=0,ch=getchar();
	while (ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();
	return w?x:-x;
}
#define ll long long
const int N = 1<<20;
const int M = 1e5+5;
int n,m,len;ll a[N],b[N];char s[20][M];
void fwt(ll *P,int opt){
	for (int i=1;i<len;i<<=1)
		for (int p=i<<1,j=0;j<len;j+=p)
			for (int k=0;k<i;++k){
				ll x=P[j+k],y=P[j+k+i];
				P[j+k]=(x+y)/opt;P[j+k+i]=(x-y)/opt;
			}
}
int main(){
	n=gi();m=gi();len=1<<n;
	for (int i=0;i<n;++i) scanf("%s",s[i]+1);
	for (int i=1;i<=m;++i){
		int x=0;
		for (int j=0;j<n;++j) x=(x<<1)+s[j][i]-'0';
		++a[x];
	}
	for (int i=1;i<len;++i) b[i]=b[i>>1]+(i&1);
	for (int i=1;i<len;++i) b[i]=min(b[i],n-b[i]);
	fwt(a,1);fwt(b,1);
	for (int i=0;i<len;++i) a[i]*=b[i];
	fwt(a,2);
	ll ans=a[0];
	for (int i=1;i<len;++i) ans=min(ans,a[i]);
	printf("%I64d\n",ans);return 0;
}