ACM数论-卡特兰数Catalan

Catalan

---

原理：

　　令h(0)=1,h(1)=1,catalan 数满足递归式：

　　　　　　　　(其中n>=2)

　　另类递推公式：

　　　　　　

　　该递推关系的解为：

　　　　　　　　(n=1,2,3,...)

　　卡特兰数的应用实质上都是递归等式的应用

　　前几项为：1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...

应用：

问题描述:
　　12个高矮不同的人，排成两排，每排必须是从矮到高排列，而且第二排比对应的第一排的人高，问排列方式有多少种？

问题分析:
　　我们先把这12个人从低到高排列,然后,选择6个人排在第一排,那么剩下的6个肯定是在第二排.
用0表示对应的人在第一排,用1表示对应的人在第二排,那么含有6个0,6个1的序列,就对应一种方案.
比如000000111111就对应着
第一排：0 1 2 3 4 5
第二排：6 7 8 9 10 11
010101010101就对应着
第一排：0 2 4 6 8 10
第二排：1 3 5 7 9 11
问题转换为，这样的满足条件的01序列有多少个。
观察1的出现，我们考虑这一个出现能不能放在第二排，显然，在这个1之前出现的那些0,1对应的人
要么是在这个1左边，要么是在这个1前面。而肯定要有一个0的，在这个1前面，统计在这个1之前的0和1的个数。
也就是要求，0的个数大于1的个数。

如果把0看成入栈操作，1看成出栈操作，就是说给定6个元素，合法的入栈出栈序列有多少个。
这就是catalan数,这里只是用于栈，等价地描述还有，二叉树的枚举、多边形分成三角形的个数、圆括弧插入公式中的方法数，其通项是c(2n, n)/(n+1)。

在<<计算机程序设计艺术>>，第三版，Donald E.Knuth著，苏运霖译，第一卷，508页，给出了证明:
问题大意是用S表示入栈，X表示出栈，那么合法的序列有多少个(S的个数为n)
显然有c(2n, n)个含S，X各n个的序列，剩下的是计算不允许的序列数(它包含正确个数的S和X，但是违背其它条件)。
在任何不允许的序列中，定出使得X的个数超过S的个数的第一个X的位置。然后在导致并包括这个X的部分序列中，以S代替所有的X并以X代表所有的S。结果是一个有(n+1)个S和(n-1)个X的序列。反过来，对一垢一种类型的每个序列，我们都能逆转这个过程，而且找出导致它的前一种类型的不允许序列。例如XXSXSSSXXSSS必然来自SSXSXXXXXSSS。这个对应说明，不允许的序列的个数是c(2n, n-1)，因此an = c(2n, n) - c(2n, n-1)。

c(2n, n)/(n+1) = c(2n, n) - c(2n, n-1)

证明：

令1表示进栈，0表示出栈，则可转化为求一个2n位、含n个1、n个0的二进制数，满足从左往右扫描到任意一位时，经过的0数不多于1数。显然含n个1、n个0的2n位二进制数共有个，下面考虑不满足要求的数目.

考虑一个含n个1、n个0的2n位二进制数，扫描到第2m+1位上时有m+1个0和m个1（容易证明一定存在这样的情况），则后面的0-1排列中必有n-m个1和n-m-1个0。将2m+2及其以后的部分0变成1、1变成0，则对应一个n+1个0和n-1个1的二进制数。反之亦然（相似的思路证明两者一一对应）。

从而。

Catalan 典型应用：

1、括号化问题。矩阵链乘： P=A1×A2×A3×……×An，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？

一个有n个X和n个Y组成的字串，且所有的部分字串皆满足X的个数大于等于Y的个数。以下为长度为6的dyck words:
                            XXXYYY     XYXXYY    XYXYXY    XXYYXY    XXYXYY
    将上例的X换成左括号，Y换成右括号，Cn表示所有包含n组括号的合法运算式的个数：
                         ((()))     ()(())      ()()()      (())()      (()())

2、将多边行划分为三角形问题。将一个凸多边形区域分成三角形区域(划分线不交叉)的方法数?

　　一个凸多边形区域，有N条边，将其划分为三角形区域，问共有多少种分割方法。

　　（1）我们从最简单情况开始：N=3，f(3)=1;

　　　　

　　（2）当N=4，f(4)=2；

　　　　

　　（3）N边时

　　　　

　　　　我们从节点1开始考虑，要想分割成三角形区域，1不能和与它相邻的点连接，所以1可以　　　连接3,4,...,N-1;

　　　　假设1连接i,则分割成的两个区域分别为i凸多边形和N+2-i凸多边形，即对于节点1,f1(N)=f(3)f(N+2-3)+f(4)f(N+2-4)+...+f(N-1)f(3);

　　　　N多边形共N个点，对应于每个点有f1(N)中分割方法，总的分割方法为f(N)=Nf1(N),但是每增加一条边，其连接两个点，所以在f(N)中有

　　　　一半是重复情况，所以最终的分割方法为：

　　　　　　　

类似：在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?

3、出栈次序问题。一个栈(无穷大)的进栈序列为1、2、3、...、n，有多少个不同的出栈序列?
类似：有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)

类似：一位大城市的律师在他住所以北n个街区和以东n个街区处工作，每天她走2n个街区去上班。如果他从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？

分析：对于每一个数来说，必须进栈一次、出栈一次。我们把进栈设为状态‘1’，出栈设为状态‘0’。n个数的所有状态对应n个1和n个0组成的2n位二进制数。由于等待入栈的操作数按照1‥n的顺序排列、入栈的操作数b大于等于出栈的操作数a(a≤b)，因此输出序列的总数目=由左而右扫描由n个1和n个0组成的2n位二进制数，1的累计数不小于0的累计数的方案种数。

4、给顶节点组成二叉树的问题。
　　给定N个节点，能构成多少种形状不同的二叉树？

　　(1)n=0时，f(0)=1；

　　(2)n=1时，f(1)=1；

　　(3)n=2时，f(2)=4；

　　(4) f(N)=N(f(0)f(N-1)+f(1)f(N-2)+...+f(i)f(N-1-i)+...+f(N-1)f(0));采用递归的思想，f(i)f(N-1-i)中f(i)表示左子树有i个节点可构造的二叉树数目，f(N-1-i)表示右子树有N-1-i个节点可构造的二叉树数目；

　　两者相乘表示左右分别为i,N-1-i个节点时候这个大的二叉树的构造数目，又由于根节点的选择有N中选择方法，所以可得总的构造方法数目如式。

　　(一定是二叉树！先取一个点作为顶点，然后左边依次可以取0至N-1个相对应的，右边是N-1到0个，两两配对相乘，就是h(0)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) + ...... + h(n-1)h(0)=h(n))   （能构成h（N）个）

在2n位二进制数中填入n个1的方案数为c(2n,n)，不填1的其余n位自动填0。从中减去不符合要求（由左而右扫描，0的累计数大于1的累计数）的方案数即为所求。
       不符合要求的数的特征是由左而右扫描时，必然在某一奇数位2m+1位上首先出现m+1个0的累计数和m个1的累计数，此后的2(n-m)-1位上有n-m个 1和n-m-1个0。如若把后面这2(n-m)-1位上的0和1互换，使之成为n-m个0和n-m-1个1，结果得1个由n+1个0和n-1个1组成的2n位数，即一个不合要求的数对应于一个由n+1个0和n-1个1组成的排列。
       反过来，任何一个由n+1个0和n-1个1组成的2n位二进制数，由于0的个数多2个，2n为偶数，故必在某一个奇数位上出现0的累计数超过1的累计数。同样在后面部分0和1互换，使之成为由n个0和n个1组成的2n位数，即n+1个0和n-1个1组成的2n位数必对应一个不符合要求的数。
因而不合要求的2n位数与n＋1个0，n－1个1组成的排列一一对应。
显然，不符合要求的方案数为c(2n,n+1)。由此得出输出序列的总数目=c(2n,n)-c(2n,n+1)=1/(n+1)*c(2n,n)。
（这个公式的下标是从h(0)=1开始的）

 //大数&&Catalan
 /*
 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012,
 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190,
  6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324,
   4861946401452, …
 */
 #include<iostream>
 #include<cstring>
 #include<iomanip>
 #include<algorithm>
 using namespace std;

 #define MAXN 9999
 #define MAXSIZE 10
 #define DLEN 4

 class BigNum
 {
 private:
     int a[];    //可以控制大数的位数
     int len;       //大数长度
 public:
     BigNum(){ len = ;memset(a,,sizeof(a)); }   //构造函数
     BigNum(const int);       //将一个int类型的变量转化为大数
     BigNum(const char*);     //将一个字符串类型的变量转化为大数
     BigNum(const BigNum &);  //拷贝构造函数
     BigNum &operator=(const BigNum &);   //重载赋值运算符，大数之间进行赋值运算

     friend istream& operator>>(istream&,  BigNum&);   //重载输入运算符
     friend ostream& operator<<(ostream&,  BigNum&);   //重载输出运算符

     BigNum operator+(const BigNum &) const;   //重载加法运算符，两个大数之间的相加运算
     BigNum operator-(const BigNum &) const;   //重载减法运算符，两个大数之间的相减运算
     BigNum operator*(const BigNum &) const;   //重载乘法运算符，两个大数之间的相乘运算
     BigNum operator/(const int   &) const;    //重载除法运算符，大数对一个整数进行相除运算

     BigNum operator^(const int  &) const;    //大数的n次方运算
     int    operator%(const int  &) const;    //大数对一个int类型的变量进行取模运算
     bool   operator>(const BigNum & T)const;   //大数和另一个大数的大小比较
     bool   operator>(const int & t)const;      //大数和一个int类型的变量的大小比较

     void print();       //输出大数
 };
 BigNum::BigNum(const int b)     //将一个int类型的变量转化为大数
 {
     int c,d = b;
     len = ;
     memset(a,,sizeof(a));
     while(d > MAXN)
     {
         c = d - (d / (MAXN + )) * (MAXN + );
         d = d / (MAXN + );
         a[len++] = c;
     }
     a[len++] = d;
 }
 BigNum::BigNum(const char*s)     //将一个字符串类型的变量转化为大数
 {
     int t,k,index,l,i;
     memset(a,,sizeof(a));
     l=strlen(s);
     len=l/DLEN;
     if(l%DLEN)
         len++;
     index=;
     for(i=l-;i>=;i-=DLEN)
     {
         t=;
         k=i-DLEN+;
         if(k<)
             k=;
         for(int j=k;j<=i;j++)
             t=t*+s[j]-'';
         a[index++]=t;
     }
 }
 BigNum::BigNum(const BigNum & T) : len(T.len)  //拷贝构造函数
 {
     int i;
     memset(a,,sizeof(a));
     for(i =  ; i < len ; i++)
         a[i] = T.a[i];
 }
 BigNum & BigNum::operator=(const BigNum & n)   //重载赋值运算符，大数之间进行赋值运算
 {
     int i;
     len = n.len;
     memset(a,,sizeof(a));
     for(i =  ; i < len ; i++)
         a[i] = n.a[i];
     return *this;
 }
 istream& operator>>(istream & in,  BigNum & b)   //重载输入运算符
 {
     char ch[MAXSIZE*];
     int i = -;
     in>>ch;
     int l=strlen(ch);
     int count=,sum=;
     for(i=l-;i>=;)
     {
         sum = ;
         int t=;
         for(int j=;j<&&i>=;j++,i--,t*=)
         {
             sum+=(ch[i]-'')*t;
         }
         b.a[count]=sum;
         count++;
     }
     b.len =count++;
     return in;

 }
 ostream& operator<<(ostream& out,  BigNum& b)   //重载输出运算符
 {
     int i;
     cout << b.a[b.len - ];
     for(i = b.len -  ; i >=  ; i--)
     {
         cout.width(DLEN);
         cout.fill('');
         cout << b.a[i];
     }
     return out;
 }

 BigNum BigNum::operator+(const BigNum & T) const   //两个大数之间的相加运算
 {
     BigNum t(*this);
     int i,big;      //位数
     big = T.len > len ? T.len : len;
     for(i =  ; i < big ; i++)
     {
         t.a[i] +=T.a[i];
         if(t.a[i] > MAXN)
         {
             t.a[i + ]++;
             t.a[i] -=MAXN+;
         }
     }
     if(t.a[big] != )
         t.len = big + ;
     else
         t.len = big;
     return t;
 }
 BigNum BigNum::operator-(const BigNum & T) const   //两个大数之间的相减运算
 {
     int i,j,big;
     bool flag;
     BigNum t1,t2;
     if(*this>T)
     {
         t1=*this;
         t2=T;
         flag=;
     }
     else
     {
         t1=T;
         t2=*this;
         flag=;
     }
     big=t1.len;
     for(i =  ; i < big ; i++)
     {
         if(t1.a[i] < t2.a[i])
         {
             j = i + ;
             while(t1.a[j] == )
                 j++;
             t1.a[j--]--;
             while(j > i)
                 t1.a[j--] += MAXN;
             t1.a[i] += MAXN +  - t2.a[i];
         }
         else
             t1.a[i] -= t2.a[i];
     }
     t1.len = big;
     while(t1.a[len - ] ==  && t1.len > )
     {
         t1.len--;
         big--;
     }
     if(flag)
         t1.a[big-]=-t1.a[big-];
     return t1;
 }

 BigNum BigNum::operator*(const BigNum & T) const   //两个大数之间的相乘运算
 {
     BigNum ret;
     int i,j,up;
     int temp,temp1;
     for(i =  ; i < len ; i++)
     {
         up = ;
         for(j =  ; j < T.len ; j++)
         {
             temp = a[i] * T.a[j] + ret.a[i + j] + up;
             if(temp > MAXN)
             {
                 temp1 = temp - temp / (MAXN + ) * (MAXN + );
                 up = temp / (MAXN + );
                 ret.a[i + j] = temp1;
             }
             else
             {
                 up = ;
                 ret.a[i + j] = temp;
             }
         }
         if(up != )
             ret.a[i + j] = up;
     }
     ret.len = i + j;
     while(ret.a[ret.len - ] ==  && ret.len > )
         ret.len--;
     return ret;
 }
 BigNum BigNum::operator/(const int & b) const   //大数对一个整数进行相除运算
 {
     BigNum ret;
     int i,down = ;
     for(i = len -  ; i >=  ; i--)
     {
         ret.a[i] = (a[i] + down * (MAXN + )) / b;
         down = a[i] + down * (MAXN + ) - ret.a[i] * b;
     }
     ret.len = len;
     while(ret.a[ret.len - ] ==  && ret.len > )
         ret.len--;
     return ret;
 }
 int BigNum::operator %(const int & b) const    //大数对一个int类型的变量进行取模运算
 {
     int i,d=;
     for (i = len-; i>=; i--)
     {
         d = ((d * (MAXN+))% b + a[i])% b;
     }
     return d;
 }
 BigNum BigNum::operator^(const int & n) const    //大数的n次方运算
 {
     BigNum t,ret();
     int i;
     if(n<)
         exit(-);
     if(n==)
         return ;
     if(n==)
         return *this;
     int m=n;
     while(m>)
     {
         t=*this;
         for( i=;i<<<=m;i<<=)
         {
             t=t*t;
         }
         m-=i;
         ret=ret*t;
         if(m==)
             ret=ret*(*this);
     }
     return ret;
 }
 bool BigNum::operator>(const BigNum & T) const   //大数和另一个大数的大小比较
 {
     int ln;
     if(len > T.len)
         return true;
     else if(len == T.len)
     {
         ln = len - ;
         while(a[ln] == T.a[ln] && ln >= )
             ln--;
         if(ln >=  && a[ln] > T.a[ln])
             return true;
         else
             return false;
     }
     else
         return false;
 }
 bool BigNum::operator >(const int & t) const    //大数和一个int类型的变量的大小比较
 {
     BigNum b(t);
     return *this>b;
 }

 void BigNum::print()    //输出大数
 {
     int i;
     cout << a[len - ];
     for(i = len -  ; i >=  ; i--)
     {
         cout.width(DLEN);
         cout.fill('');
         cout << a[i];
     }
     cout << endl;
 }
 int main()
 {
     int i,n;
     BigNum x[];      //定义大数的对象数组
     x[]=;
     for(i=;i<;i++)
         x[i]=x[i-]*(*i-)/(i+);
     while(scanf("%d",&n)== && n!=-)
     {
         x[n].print();
     }
 }

Catalan 高精度