RMQ 算法入门

1. 概述

RMQ（Range Minimum/Maximum Query）。即区间最值查询，是指这样一个问题：对于长度为n的数列A，回答若干询问RMQ（A,i,j）(i,j<=n)，返回数列A中下标在i，j之间的最小/大值。

这两个问题是在实际应用中常常遇到的问题。以下介绍一下解决这两种问题的比較高效的算法。当然，该问题也能够用线段树（也叫区间树）解决，算法复杂度为：O(N)~O(logN)，这里我们暂不介绍。

2.RMQ算法

对于该问题，最easy想到的解决方式是遍历，复杂度是O(n)。但当数据量非常大且查询非常频繁时。该算法无法在有效的时间内查询出正解。

本节介绍了一种比較高效的在线算法（ST算法）解决问题。所谓在线算法，是指用户每输入一个查询便立即处理一个查询。该算法一般用较长的时间做预处理。待信息充足以后便能够用较少的时间回答每一个查询。ST（Sparse Table）算法是一个很有名的在线处理RMQ问题的算法。它能够在O(nlogn)时间内进行预处理。然后在O(1)时间内回答每一个查询。

（一）首先是预处理，用动态规划（DP）解决。

设A[i]是要求区间最值的数列。F[i, j]表示从第i个数起连续2^j个数中的最大值。（DP的状态）

比如：

A数列为：3 2 4 5 6 8 1 2 9 7

F[1，0]表示第1个数起，长度为2^0=1的最大值，事实上就是3这个数。

同理 F[1,1] = max(3,2) = 3, F[1，2]=max(3,2,4,5) = 5，F[1，3] = max(3,2,4,5,6,8,1,2) = 8;

而且我们能够easy的看出F[i,0]就等于A[i]。（DP的初始值）

这样。DP的状态、初值都已经有了，剩下的就是状态转移方程。

我们把F[i。j]平均分成两段（由于f[i，j]一定是偶数个数字）。从 i 到i + 2 ^ (j - 1) - 1为一段。i + 2 ^ (j - 1)到i + 2 ^ j - 1为一段(长度都为2 ^ (j - 1))。

用上例说明，当i=1。j=3时就是3,2,4,5 和 6,8,1,2这两段。

F[i，j]就是这两段各自最大值中的最大值。于是我们得到了状态转移方程F[i, j]=max（F[i，j-1],
F[i + 2^(j-1)，j-1]）。

代码例如以下：

    void RMQ(int num) //预处理->O(nlogn)
    {
        for(int j = 1; j < 20; ++j)
            for(int i = 1; i <= num; ++i)
                if(i + (1 << j) - 1 <= num)
                {
                    maxsum[i][j] = max(maxsum[i][j - 1], maxsum[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
                    minsum[i][j] = min(minsum[i][j - 1], minsum[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
                }
    }  

这里我们须要注意的是循环的顺序。我们发现外层是j，内层所i，这是为什么呢？能够是i在外，j在内吗？

答案是不能够。由于我们须要理解这个状态转移方程的意义。

状态转移方程的含义是：先更新全部长度为F[i,0]即1个元素，然后通过2个1个元素的最值，获得全部长度为F[i,1]即2个元素的最值，然后再通过2个2个元素的最值。获得全部长度为F[i,2]即4个元素的最值，以此类推更新全部长度的最值。

而假设是i在外，j在内的话，我们更新的顺序就是F[1,0],F[1,1],F[1,2],F[1,3],表示更新从1開始1个元素。2个元素，4个元素，8个元素（A[0],A[1],....A[7]）的最值。这里F[1,3] = max(max(A[0],A[1],A[2],A[3]),max(A[4],A[5],A[6],A[7]))的值。可是我们根本没有计算max(A[0],A[1],A[2],A[3])和max(A[4],A[5],A[6],A[7])，所以这个方案肯定是错误的。

为了避免这种错误，一定要好好理解这个状态转移方程所代表的含义。

（二）然后是查询。

假如我们须要查询的区间为(i,j)，那么我们须要找到覆盖这个闭区间(左边界取i。右边界取j)的最小幂（能够反复。比方查询5，6。7，8，9，我们能够查询5678和6789）。

由于这个区间的长度为j - i + 1,所以我们能够取k=log2( j - i + 1)。则有：RMQ(A, i, j)=max{F[i , k], F[ j - 2 ^ k + 1, k]}。

举例说明。要求区间[2，8]的最大值，k = log2（8 - 2 + 1）= 2，即求max(F[2, 2]，F[8 - 2 ^ 2 + 1, 2]) = max(F[2, 2]，F[5, 2])。

在这里我们也须要注意一个地方。就是<<运算符和+-运算符的优先级。

比方这个表达式：5 - 1 << 2是多少？

答案是：4 * 2 * 2 = 16。

所以我们要写成5 - (1 << 2)才是5-1 * 2 * 2 = 1。