带修主席树 洛谷2617 支持单点更新以及区间kth大查询

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P2617

参考博客：https://blog.csdn.net/dreaming__ldx/article/details/80872728

在主席树的基础上实现单点更新也不困难，主要我们要明白主席树的函数性质，也就是一个根节点代表的信息我们可以认为是一段前缀，朴素主席树的T(i)树代表的是区间[1,i]的前缀，这样子单点更新之后就必须更新之后的T(i+1)~T(n)的线段树，这样的话时间复杂度非常高，我们可以利用主席树的函数性质，用树状数组套主席树，树状数组的C[i]点的主席树维护的是[i-lowbit(i)+1,i]区间的插入信息（虽然在根节点都是维护[1,n]区间），也就是T(i)树维护的是lowbit(i)长度的区间。每棵主席树维护的区间不是前缀区间，这个是树状数组套主席树的重点。所以更新的时候我们只要更新树状数组中的logn个结点，而在这每个结点之中我们需要修改一条链上的logn个结点（该结点属于主席树）。最终q次修改+m次查询的时间复杂度是O(q*log^2(n)+mlogn)。注意树状数组是建立在原数组的基础上的，所以树状数组中的索引与原数组的索引相关联，而主席树的索引则是离散值的索引，这与静态主席树相比又复杂了写，体现在add函数中，add函数传入的是实时原数组的索引，所以先修改位置的信息再通过这个位置获得修改的值的大小。

下面附上自写代码，结构体保存的树的信息，常数比较大：

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 typedef unsigned int ui;
 typedef long long ll;
 typedef unsigned long long ull;
 #define pf printf
 #define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
 #define prime1 1e9+7
 #define prime2 1e9+9
 #define pi 3.14159265
 #define lson l,mid,rt<<1
 #define rson mid+1,r,rt<<1|1
 #define scand(x) scanf("%llf",&x)
 #define f(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
 #define scan(a) scanf("%d",&a)
 #define mp(a,b) make_pair((a),(b))
 #define P pair<int,int>
 #define dbg(args) cout<<#args<<":"<<args<<endl;
 #define inf 0x3f3f3f3f
 const int maxn=1e5+;
 int n,m;
 inline int read(){
     int ans=,w=;
     char ch=getchar();
     while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')w=-;ch=getchar();}
     while(isdigit(ch))ans=(ans<<)+(ans<<)+ch-'',ch=getchar();
     return ans*w;
 }

 struct node{
     int l,r,sum;
 }t[maxn*];
 struct qu{
     int a,b,c;
 }q[maxn];
 int cnt=,tot;
 char s[];
 //root中存放主席树的根节点编号，b中存放的所有将会出现在数列中的数
 //b数组乘2是因为可能有1e5的原数据和1e5的更新点
 //a中存放的是数组的实时动态情况，一旦有点修改就会体现在a数组上
 int root[maxn*],b[maxn<<],a[maxn],qx[maxn],qy[maxn],ansx,ansy;
 //在pre结点的基础上，建立now根结点并且在p位置加上v
 //对每棵主席树的插入操作都是一样的，所以带修跟不带修的插入函数一样
 int lowbit(int x){return x&(-x);}
 void update(int l,int r,int pre,int &now,int p,int v)
 {
      t[++cnt]=t[pre];
      now=cnt;
      t[now].sum+=v;//(now结点的区间一定是包含p位置的）
      if(l==r)return;
      int m=l+r>>;//划分区间，决定向左子树还是右子树更新
      if(p<=m)update(l,m,t[pre].l,t[now].l,p,v);
      else update(m+,r,t[pre].r,t[now].r,p,v);
 }
 void add(int x,int v)//给第x个数插上v，这是在树套树的主席树上进行的加操作
 {//对于树状数组i位置上的主席树，根就是root[i]
     int k=lower_bound(b+,b+tot+,a[x])-b;
     for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))update(,tot,root[i],root[i],k,v);//就在第i棵树上进行操作
 }
 int query(int l,int r,int k)
 {
     if(l==r)return l;
     int sum=,m=l+r>>;
     f(i,,ansy)sum+=t[t[qy[i]].l].sum;
     f(i,,ansx)sum-=t[t[qx[i]].l].sum;//计算[l,m]区间插入的数的数量
     if(k<=sum)
     {
         f(i,,ansx)qx[i]=t[qx[i]].l;
         f(i,,ansy)qy[i]=t[qy[i]].l;//同步、更新、递归
         return query(l,m,k);
      }
     else
     {
         f(i,,ansx)qx[i]=t[qx[i]].r;
         f(i,,ansy)qy[i]=t[qy[i]].r;
         return query(m+,r,k-sum);
     }
 }
 int main()
 {
     //freopen("input.txt","r",stdin);
     //freopen("output.txt","w",stdout);
     std::ios::sync_with_stdio(false);
     n=read(),m=read(),cnt=,tot=;
     f(i,,n){
         a[i]=b[++tot]=read();
     }
     f(i,,m)
     {
         scanf("%s",s);
         q[i].a=read(),q[i].b=read();
         if(s[]=='Q')q[i].c=read();
         else q[i].c=,b[++tot]=q[i].b;
         //离线处理
     }
     sort(b+,b+tot+);
     tot=unique(b+,b+tot+)-(b+);
     f(i,,n)add(i,);//将第i个数插入主席树
     f(i,,m)
     {
         if(q[i].c)
         {
             ansx=ansy=;
             for(int j=q[i].b;j;j-=lowbit(j))qy[++ansy]=root[j];//把需要查询的点的根节点的编号保存下来
             for(int j=q[i].a-;j;j-=lowbit(j))qx[++ansx]=root[j];
             pf("%d\n",b[query(,tot,q[i].c)]);//注意vector中下标从1开始
         }
         else
         {
             add(q[i].a,-);
             a[q[i].a]=q[i].b;//将点更新实时地在a上体现
             add(q[i].a,);
         }
     }
  }