D - 小Z的加油店 线段树+差分+GCD

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HYSBZ - 5028

 

这个题目是一个线段树+差分+GCD

推荐一个差分的博客：https://www.cnblogs.com/cjoierljl/p/8728110.html

学会了这个简单差分之后，就可以把这个题目的区间更新转化成单点更新了，emmm...可能还是不太理解，那就说下具体思路吧。

这个题目一看感觉很难，然后就取看题解，这个看了题解之后发现裴蜀定理+线段树。

讲一下为什么是裴蜀定理+线段树，线段树应该没有什么异议，因为这个有区间更新区间查询，而且n，m的数值很大，不用线段树很容易T。

因为你要进行很多次操作，就可以列一个式子：ax1+bx2+cx3....=ans

这个式子，如果你的数论学的很好的话，就可以知道应该用裴蜀定理，这个裴蜀定理可以自己简单学习一下。

根据裴蜀定理这个最小值应该是gcd(a,b,c,d....)，所以我们就应该用线段树来求一个区间的gcd。

为什么又要用到差分呢？

因为如果你每次进行区间更新都是每一个点进行更新(只能这样，不然就无法求gcd），这样子的话，你就会发现T了。

所以我们不这么写，从刚刚的那个博客可以看出，这个可以把区间更新转化成单点更新了，就只需要更新区间左端点和区间右端点+1。

所以总结一下，这个题解法就是：

先对序列进行差分，然后用差分数列进行建树，这个要记录一个和sum和gcd val

然后就是查询，这个查询就是先查左端点的sum，然后再查左端点到右端点之间的差分的val（这个是根据裴蜀定理得出的）

然后就是更新，这个更新是只要对左端点和右端点+1进行更新就可以了。

之前是写之前的思路，接下来说说写的过程种碰到的bug，写在代码里了。

其实和普通线段树是差不多的，但是就是会有很多小bug没注意到。

线段树的bug还是很难找的。

写一下我对于差分的理解：
如果你碰到你要更新一个区间，给这个区间上的每一个数都加上一个x，让你求n次操作之后求一个区间总和。
又有时间限制，不可以一个一个的去加，这个时候就可以用上差分了。
就是先将这个数列进行差分得到一个差分数列，然后就是对于这个区间的第一位+x，
最后一位的后面一位-x。
这样子操作n次之后再用前缀和求出原来的数列，最后原来的数列再运算即可。

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <vector>
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int maxn = 1e5 + ;
struct node
{
    int l, r;
    int sum, val;
}tree[maxn*];
int a[maxn];

int gcd(int a,int b)
{
    return b ==  ? a : gcd(b, a%b);
}

void push_up(int id)
{
    tree[id].sum = tree[id << ].sum + tree[id <<  | ].sum;
    tree[id].val = gcd(tree[id << ].val, tree[id <<  | ].val);
}

void build(int id,int l,int r)//建树
{
    tree[id].l = l;
    tree[id].r = r;
    if(tree[id].l==tree[id].r)
    {
        tree[id].sum = tree[id].val = a[l];
        return;
    }
    int mid = (l + r) >> ;
    build(id << , l, mid);
    build(id <<  | , mid + , r);
    push_up(id);
}

int query_sum(int id,int l,int r)//求到第区间第一个的真实值
{
    if(l<=tree[id].l&&r>=tree[id].r)
    {
        return tree[id].sum;
    }
    int mid = (tree[id].l + tree[id].r)>>, ans = ;
    if (l <= mid) ans += query_sum(id << , l, r);
    if(r>mid) ans += query_sum(id <<  | , l, r);
    return ans;
}

int query_val(int id,int l,int r)//求区间除开第一个的差分gcd
{
    if(l<=tree[id].l&&r>=tree[id].r)
    {
        return tree[id].val;
    }
    int mid = (tree[id].l + tree[id].r) >> , ans = ;
    if (l <= mid) ans = gcd(ans, query_val(id << , l, r));
    if (r > mid) ans = gcd(ans, query_val(id <<  | , l, r));
    return ans;
}

void update(int id,int p,int x)
{
    if (p > tree[id].r) return;
    if(tree[id].l==tree[id].r)
    {
        tree[id].sum += x;
        tree[id].val += x;
        return;
    }
    int mid = (tree[id].l + tree[id].r) >> ;
    if (p <= mid) update(id << , p, x);
    else update(id <<  | , p, x);
    push_up(id);
}

int main()
{
    int n, m;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = ; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
    for (int i = n; i >= ; i--) a[i] = a[i] - a[i - ];//要从后往前，注意差分是每一个真实值和这个真实值之前的真实值进行差分
    build(, , n);
    for (int i = ; i <= m; i++)
    {
        int p, l, r;
        scanf("%d%d%d", &p, &l, &r);
        if (l > r) swap(l, r);//这个其实交换不交换都差不多
        if (p == )
        {
            int exa1 = query_sum(, , l);//去查找第i个数的真实值
            int exa2 = query_val(, l + , r);//i到r之间的gcd
            int ans = abs(gcd(exa1,exa2));//因为是进行差分了，所以gcd之后也有可能有负值
            printf("%d\n", ans);
        }
        else
        {
            int x;
            scanf("%d", &x);
            update(, l, x);//差分的更新
            update(, r + , -x);
        }
    }
    return ;
}