量子纠错码——Stabilizer codes

对于错误，一般有两种：

random: 错误以一定的概率发生在每个比特上（对这种问题的研究一般是信息论中，信道熵一类的问题）
worst case: 错误发生在某个比特上，这也是纠错码襄阳解决的问题

经典线性码：

主要是利用了定义在有限域$\mathbb{F}_{2}$上的线性代数，$\mathbb{F}_{2}=\{0,1\}$，然后定义了两个操作，$+$ 和 $\cdot$。

$\cdot$和正常的乘法一样，只有在$1 \cdot1$的时候结果为1，其余都为0，而$+$则有一点小不同，因为这是一个封闭的有限域，所以$1+1$不等于2而是等于0，计算结果模2。

现在已经有了$\mathbb{F}_{2}$，每一个比特都是这么的一个空间，如果我们有n比特，那么我们的空间就是$\mathbb{F}_{2}^{n}$，在这个空间上我们可以定义向量。

假定我有了线性独立向量$g_1,...,g_k$我们把写着称之为generator of the code，由他们我们可以张成封闭子空间 $C$，$C \geq \mathbb{F}_{2}^{n}$，这个空间的中的向量都可以由$a_1g_1+a_2g_2+...+a_kg_k$表达，其中$a_1,...,a_k$也都属于$\mathbb{F}_{2}$，这个空间的维度为k。

这里我们定义一个矩阵G，他的每一列都由generator $g_1,...,g_k$表示，所以这是一个$n*k$的矩阵。如果用属于$\mathbb{F}_{2}^{k}$的向量来表示$a_1,...,a_k$，则上面的式子就可以变成$Ga$，这相当于是一个映射，把空间$\mathbb{F}_{2}^{k}$映射成了$C$。

这相当于就是一个编码方法了，把$\mathbb{F}_{2}^{k}$空间里的k位向量，编码成$C$空间里的n位向量，我们只需要做一个矩阵和向量的乘法即可。

用一个例子来说明一下：

多数码：我们的码字空间就是$C=\{0^n,1^n\}$，用n个0来表示0，n个1来表示1，G就是一个简单的全1的列向量。

现在来看我们的编码结果，$\begin{pmatrix} 1\\1\\...\\1\end{pmatrix}a=\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\...\\x_n\end{pmatrix}$。

对于向量x有什么是要满足的吗？

如果我们的编码计算没有问题的话，我们的$x_1=x_2$,$x_2=x_3$，……，$x_{n_1}=x_n$，这个永也可以用另一个种方式表达，$x_1+x_2=0$因为只有在他们同时为1或者同时为0的时候才会加起来为0。

为此，我们可以定义一个新的矩阵H，$H= \begin{pmatrix} 1 &1 & 0& ... & 0 \\ 0 & 1 & 1 & ... & 0 \\ ... \\ 0 & 0 & ... & 1& 1 \end{pmatrix}$只有对角线上两个1，其他都是0.

有这个矩阵有什么用呢？

如果我们有了这个矩阵，我们可以用来验证我们的编码是不是对的，通过计算$Hx=0$如果等于0，那么我们的编码就是对的，如果不等于0，那么我们的编码就发生了错误。

H也就是我们的检测矩阵 check matrix，如果G是n*k 的矩阵的话，H就是(n-k)*n的矩阵。

我们聊这么久的线性码的意义何在？

因为我们可以把H 也就是 check matrix 拓展到量子的领域，也就是我们的Stabilzer code。

经典线性码，有两种等价的描述，$C_{c l}=\operatorname{Im}(G)=\operatorname{ker}(H) \leq \mathbb{F}_{2}^{n}$

对H来说，C空间里的任意一个向量都和H的每一个行向量的内积都是0，$H x=0 \Longleftrightarrow\langle x, h\rangle = 0 \forall h \in \operatorname{Im}(H^{\dagger})$

从量子的角度来看，我们的量子码字空间$C=span\{|x\rangle: x \in C_{cl}\}$和它对应的check aatrix H。

$\forall h \in \operatorname{Im}(H^{\dagger})$我们选择这么一个操作$Z^{h}=Z_{1}^{h_{1}} \ldots Z_{n}^{h_{n}}$作用在 $|x\rangle $ 上，得到$Z^{h}|x\rangle=Z_{1}^{h_{1}}\left|x_{1}\right\rangle \otimes \ldots \otimes Z_{n}^{h_{n}}\left|x_{n}\right\rangle=(-1)^{\langle h, x\rangle}|x\rangle$。因为$\langle h, x\rangle=0$，所以$Z^h|x\rangle=|x\rangle$。

也就是说，$|x\rangle$是$Z^h$特征值为1的特征向量。

$C=\left\{|\psi\rangle: Z^{h}|\psi\rangle=|\psi\rangle \forall h \in \operatorname{Im} H\right\}$这个条件的另一种描述方法就是$|\psi\rangle$ is stabilized by$Z^h$。

Stabilizer是什么？

定义

Stabilizer group(S)是什么？

简单来说，stabilizer group(S)就是满足了以下两个条件的Pauli群的子群。

Pauli群是什么？

$\left\{\omega^{c} X_{j}^{a_{j}} Z_{j}^{b_{j}}\right\}_{j=1, \ldots, N}^{a_{j}, b_{j}, c=0, \ldots, d-1}$其中 $w=e^{2\pi i/d}$ ，并且这个群是封闭的。

那么需要满足的两个条件是什么呢？

S里面的所有的元素都是对易的，即可以交换，S is an abelian subgroup of $P_n$
-I不在S里面

这两个条件其实是统一的，可以相互推导，在S里没有-I很容易理解，如果有了-I，那么满足$-I |x \rangle = |x\rangle$的$|x\rangle$就只有0向量了。

如果在S里面没有-I，那么反对易的元素也不在S里面，Pauli矩阵要么是对易要么反对易，如果它们是反对易的，则存在$S \ni g h g h=-g h h g=-I$，与第二个要求矛盾。

Stabilizer 子空间

Stabilizer 子空间就是$V_S=\{|\psi\rangle: g|\psi\rangle=|\psi\rangle, \forall g \in S\}$。

一个stabilizer group(S)就有一个对应的stabilizer subspace，S里面的任意一个操作作用在这个子空间里都不会有什么变化。

例子

$V_{S}=\operatorname{span}\{|00\rangle\}$，对于这个子空间，$S=\{I I, I Z, Z I, Z Z\}=\langle I Z, Z I\rangle$，之所以后面还划出来了一个IZ和ZI，那么是因为II和ZZ可以通过这两个相乘得到，我们也说， S is generated by IZ,ZI。
$V_{S}=\operatorname{span}\{|000\rangle,|111\rangle\}$这就是我们先前说的重复编码，对于这个子空间，他的S就是$S=\langle Z Z I, I Z Z\rangle$前面的两个ZZ保证的是第一个比特和第二个比特是相同的，后面两个ZZ保证的是第二个比特和第三个比特是相同的。
$V_{S}=\operatorname{span}\{|+++\rangle,|---\rangle\}$对于这种情况，找他的S也很容易，因为就是一个换基的过程$S=\langle X X I, I X X\rangle$。

投影算子

现在我们还可以来描述这个子空间的投影算子，我们可以先定义一个$\Pi_{S}$使得$\Pi_{S}=\frac{1}{|S|} \sum_{g \in S} g$

如果$g \in S$，那么$g \Pi_{S}=\Pi_{S}$，证明这一点很容易，因为：

$g \sum_{h \in S} h=\sum_{h \in S} g h=\sum_{h^{\prime}=g h \in S} h^{\prime}$

$g \in S$同样也可以导出$g^{\dagger} \in S$，因为S是一个封闭可逆的群，那么我们可以得出么$g^{\dagger} \Pi_{S}=\Pi_{S}$，即么$\Pi_{S}^{\dagger} \Pi_{S}=\Pi_{S}$

这说明了$\Pi_{S}$是一个投影算子。

接下来要说明$\Pi_{S}$投影的子空间就是我们想要的$V_S$，这个分为两方面：

对任意的$|\psi\rangle$和$g \in S$来说，$g \Pi_{S}|\psi\rangle=\Pi_{S}|\psi\rangle$，也就是$\Pi_{S}|\psi\rangle \in V_{S}$。
如果$|\psi\rangle \in V_{S}$，则$\Pi_{S}|\psi\rangle=|\psi\rangle$，即$V_{S} \subseteq \Pi_{S}$。

综上，我们可以说，$\Pi_{S}=\operatorname{Proj}\left(V_{S}\right)$是子空间上的投影算子。

我们现在可以来计算子空间的维度，让$|S|=2^{\ell}$，generator $S=\left\langle s_{1}, \ldots, s_{\ell}\right\rangle$，

子空间的维度说起来简单，就是所有stabilizer特征值为1所对应的特征空间的交集，但是谁知道他们是怎么相交的呢？还好我们有投影算子。

我们可以说，$\operatorname{dim} V_{S}=\operatorname{tr} \Pi_{S}$，这里的特征值只有0和1，而trace会把1给累加起来。

$\operatorname{tr} \Pi_{S}=\frac{1}{|S|} \sum_{g \in S} \operatorname{tr} g=\frac{1}{2^{\ell}} \sum_{g \in S} 2^{n} \delta_{g, I}=2^{n-\ell}$

只有$g=I$的时候trace才有值，其他情况就是普通的Pauli，trace为0，而什么情况$g=I$呢？事实上只有一种情况，那就是所有的a都为0，因为他们是线性独立的，所以我们子空间的维度是$2^{n-l}$

错误检测

回顾我们经典的检测矩阵H，我们有$x \in C_{c l} \Longleftrightarrow H x=0$，并不是所有的错误我们都能检测，如果这个错误是把一个可能的码字，变成另一个可能的码字，那么H怎么能知道这个是错误而不是一个正确的操作的？

如果错误正好是$H(x+e)=H e=0$，那么这种错误就是不可检测的错误。

量子版本的stabilizer code也是如此。

那么，哪些错误是不能检测的呢？

那就是如果我犯了这个错误，但是我依旧在这组stabilizer的子空间里，这种错误就是不可检测的，因为我分不出来这究竟是错误还是操作。

假设$|\psi\rangle \in V_{S}$，$E \in P_{n}$，则：$E|\psi\rangle \in V_{S} \quad \Leftrightarrow \quad g E|\psi\rangle=E|\psi\rangle \forall g \in S$

$g E|\psi\rangle=E|\psi\rangle$意味着$g E|\psi\rangle=Eg|\psi\rangle$，则Eg和gE是相等的，E和g对易。

如果我们的错误和我们的stabilizer对易，那么这种错误就是我们不能检测出来的错误。

问题接下来就变成了，如何判断Pauli算子是否对易。

首先，所有的Pauli都可以写成$p=(-1)^{a} X^{b} Z^{c}$的形式，对于$a \in \mathbb{F}_{2}, b, c \in \mathbb{F}_{2}^{n}$

那么假定我们有另一个Pauli $q=(-1)^{a^{\prime}} X^{b^{\prime}} Z^{c^{\prime}}$

则$p q=(-1)^{a+a^{\prime}} X^{b} Z^{c} X^{b^{\prime}} Z^{c^{\prime}}$

对于中间的$Z^{c} X^{b^{\prime}}=Z_{1}^{c_{1}} \cdots Z_{n}^{c_{n}} X_{1}^{b_{1}^{\prime}} \cdots X_{n}^{b_{n}^{\prime}}=X^{b^{\prime}} Z^{c}(-1)^{\left\langle b^{\prime}, c\right\rangle}$，即，如果Z和X在这一位上都有，那么就会有一个-1.

那么现在pq就变成了，$p q=(-1)^{a+a^{\prime}+\left\langle b^{\prime}, c\right\rangle} X^{b+b^{\prime}} Z^{c+c^{\prime}}$

同理，qp可以写成$q p=(-1)^{a+a^{\prime}+\left\langle b, c^{\prime}\right\rangle} X^{b+b^{\prime}} Z^{c+c^{\prime}}$

很容易发现，$p q=(-1)^{\left\langle c, b^{\prime}\right\rangle+\left\langle b, c^{\prime}\right\rangle} q p$，如果-1上面的指数是0，那么他们就对易，反之，如果上面的指数是1，那么他们就反对易。

而这个，我们又可以写成这样的形式$\left\langle c, b^{\prime}\right\rangle+\left\langle b, c^{\prime}\right\rangle=\left(\begin{array}{ll}b^{T} & c^{T}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0_{n} & I_{n} \\ I_{n} & 0_{n}\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}b^{\prime} \\ c^{\prime}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}b^{T} & c^{T}\end{array}\right) \Lambda\left(\begin{array}{l}b^{\prime} \\ c^{\prime}\end{array}\right)$

所以泡利矩阵是否对易的关键记载于看$(b c)$和$(b' c')$之间是否垂直了，这里垂直的顶i的是定义是symplectic inner product