CodeChef - TELEPORT

题目链接：https://vjudge.net/problem/CodeChef-TELEPORT

题目大意：

　　有\(Q\)个指令，指令为：\(+\) \(x\) \(y\)（在二维平面内添加一个点，坐标为\((x,y)\)）；或\(?\) \(i\) \(j\)（如果第\(i\)个指令所添加的点和第\(j\)个指令所添加的点联通，则打印 "DA"，否则打印 “NET"）.

　　关于联通的定义：如果每个点能到达的区域为\({(a,b):|a-x|+|b-y| \le R}\).如果点\(u\)和点\(v\)联通，点\(v\)和点\(k\)联通，则点\(u\)和点\(k\)联通。

　　\(1 \le Q,R,x,y \le 100,000\)

知识点：　　线段树、并查集

解题思路：

　　易知每个点能到达的区域为一个对角线长度为\(2R\)的正菱形，我们可以通过将其旋转\(45^\circ \)来将其转换成正方形，具体的转化方法为

　　\(x' = x + y\)

　　\(y' = x - y\)

而该正方形的连通区域也转变成了\({(a',b'):|a'-x'|+|b'-y'| \le R}\).

具体证明：（参考(chao)自官方题解）

　　\(|x-a|+|y-b| = max(x-a+y-b, x-a+b-y, a-x+y-b, a-x+b-y) = max(|(x+y)-(a+b)|, |(x-y)-(a-b)|) = max(|x'-a'|, |y'-b'|) \le R\)

（转化的部分才是本题的精髓所在）

　　转化为正方形之后，对于坐标轴的 \(x\) 轴建立线段树，用\(set\)记录\(x\)在该区间中的中心点所对应\(y\)值及其指令编号。

　　添加的时候先查询一下在

\([x-2R,x] \times [y-2R,y], [x-2R,x] \times [y,y+2R], [x,x+2R] \times [y-2R, y], [x,2R] \times [y,y+2R] \)

这\(4\)个正方形区域中有没有点，如果有，则将各个区域中最靠近的点和要添加的点用并查集合并在一起。

　　询问的时候只需询问两个点是否并在一起了即可。

　　具体实现看代码及注释

AC代码：

 #include <bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 #define lson l,m,rt<<1
 #define rson m+1,r,rt<<1|1

 const int maxn=,RR=;
 typedef pair<int,int> P;
 set<P> tree[maxn<<];   //(y值,第几次查询)
 void update(int pos,int y,int q,int l,int r,int rt){//在pos点插入纵坐标为y,查询编号为q的点
     tree[rt].insert(make_pair(y,q));
     if(l==r)    return;
     int m=(l+r)>>;
     if(pos<=m)  update(pos,y,q,lson);
     else        update(pos,y,q,rson);
 }
 int query(int L,int R,int y,int aR,int l,int r,int rt){//查询[L,R]*[y,2*aR]的正方形区域
     if(L<=l&&r<=R){
         set<P>::iterator it=tree[rt].lower_bound(make_pair(y,));   //找出纵坐标大于或等于y的最小值
         if(it != tree[rt].end() &&(it->first <= y+*aR))   return it->second;   //返回对应的编号（从1开始）
         return ;//否则返回0
     }
     int m=(l+r)>>;
     int ret=;
     if(L<=m)  ret=max(ret,query(L,min(m,R),y,aR,lson));
     if(R>m)   ret=max(ret,query(max(L,m+),R,y,aR,rson));
     return ret;
 }

 //并查集部分
 int par[maxn];
 void init(int n){
     for(int i=;i<=n;i++)   par[i]=i;
 }
 int finds(int x){
     if(par[x]==x)   return x;
     return par[x]=finds(par[x]);
 }
 void unite(int x,int y){
     int tx=finds(x);
     int ty=finds(y);
     if(tx==ty)  return;
     par[tx]=ty;
 }
 //*******************************************************
 int main(){
     int Q,R,x,y;
     char tmp[];
     scanf("%d%d",&Q,&R);
     init(Q);
     for(int q=;q<=Q;q++){
         scanf("%s %d %d",tmp,&x,&y);
         int tx=x+y+*R,ty=x-y;  //因为后面会查询到[tx-2*R,tx]这个区间，所以我们统一先将其加上2*R，避免出现负数，数组也要相应地开大一点
         if(tmp[]=='+'){
             int x1=query(tx-*R,tx,ty-*R,R,,maxn,);
             int x2=query(tx-*R,tx,ty,R,,maxn,);
             int x3=query(tx,tx+*R,ty-*R,R,,maxn,);
             int x4=query(tx,tx+*R,ty,R,,maxn,);
             if(x1)  unite(x1,q);
             if(x2)  unite(x2,q);
             if(x3)  unite(x3,q);
             if(x4)  unite(x4,q);
             update(tx,ty,q,,maxn,);
         }
         else{
             if(finds(x)==finds(y))  printf("DA\n");
             else    printf("NET\n");
         }
     }
 }