P13617 [ICPC 2025 APC] Bit Counting Sequenc

P13617 [ICPC 2025 APC] Bit Counting Sequenc

为什么没有题解，我来写一发小清新题解吧。

题意

给你一段 popcount 序列 \(\{a_i\}\)，求出它的原序列。

\(n \le 5 \times 10^5\)。

思路

观察一下这个 popcount 序列的性质。（例子的原序列是 [0,15]）

对每种颜色的框，右边的框等于左边的框加 \(1\)。

因此你可以认为 popcount 序列是倍增构造的。

本质上是因为，我们把 \([0,2^k-1]\) 原序列的第 \(k\) 位改成 \(1\)，就可以造出 \([2^k,2^{k+1}-1]\)。

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你可以把整个 pop 序列分成若干框框。这里只画其中几个框。

你想知道题目给的 pop 序列是哪一个框框里面的。以此确定原序列。

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如果从大框框开始做，先把序列 \(\{a_i\}\) 分到左右两个大框框里面，然后再确定大框框内部是否合法。

如 3 3 4 1 2，先确定出它是 [(0 1 1 2 1 2 2 3 1 2 2 3 2) 3 3 4][1 2 (2 3 2 3 3 4 2 3 3 4 3 4 4 5)]。

然后递归判一下框框内部是不是合法的。比如这里，[... 3 3 4] 和 [1 2 ...] 刚好都是合法的。

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但是你咋确定最大的框框，你不知道长度，不知道分割点，只知道左边框框加一等于右边框框而已。

所以我们从小框框开始确定。

还是上面那个例子，你容易确定应该 3 3 一组还是 3 4 一组。

显然是 3 4！因为左边加一等于右边。

然后你有了：[(2) 3][3 4][1 2]。

然后再分组，因为 [(2) 3] + 1 = [3 4]。所以显然它们分一组。

然后你有了下面的完整分组过程：

[(2) 3][3 4][1 2]
[(2) 3 3 4][1 2 (2 3)]
[(1 2 2 3) (2) 3 3 4][1 2 (2 3) (2 3 3 4)]
[(0 1 1 2 1 2 2 3) (1 2 2 3) (2) 3 3 4][1 2 (2 3) (2 3 3 4) (2 3 3 4 3 4 4 5)]

每个框框 [...] 只需要记首位数字。比较框框也只需要比框框的首位数字。（因为框框内部在框框长度更短的时候已经确定合法了，所以只需要比较框框首位大小，类似 SA 的排序）

时间复杂度 \(O(n)\)。

时间复杂度是这么算的：\(n + \frac{n}{2} + \frac{n}{4} + \cdots + 2 + 2 + 2 + \cdots + 2 = O(n)\)。

记得判无解。

只讲了大致思路，还有写细节懒得写了。

code

#include<bits/stdc++.h>
#define sf scanf
#define pf printf
#define rep(x,y,z) for(int x=y;x<=z;x++)
#define per(x,y,z) for(int x=y;x>=z;x--)
using namespace std;
typedef long long ll;
namespace wing_heart {
	constexpr int N=5e5+7;
	int T,n,a[N];
	bool ans;
	int st1[N],st2[N];
	int *vec,*tmp;
	int svec,stmp;
	void main() {
		sf("%d",&T);
		while(T--) {
			ans=1;
			sf("%d",&n);
			rep(i,1,n) sf("%d",&a[i]);
			svec=0;
			vec=st1;
			tmp=st2;
			rep(i,1,n) vec[svec++]=a[i];
			ll pos=0;
			int t=0;
			for(;;t++) {
				if(vec[0]<0) break;
				if(svec==1) break;
				stmp=0;
				if(vec[0]+1!=vec[1]) {
					pos+=1ll<<t;
					tmp[stmp++]=vec[0]-1;
					for(int i=1;i<svec;i+=2) tmp[stmp++]=vec[i];
				} else {
					for(int i=0;i<svec;i+=2) tmp[stmp++]=vec[i];
				}
				swap(svec,stmp);
				swap(vec,tmp);
			}
			if(vec[0]<0) ans=0;
			if(!ans) { puts("-1"); continue; }
			pos+=((1ll<<vec[0])-1)*(1ll<<t);
			rep(i,1,n) {
				if(a[i]!=__builtin_popcountll(pos+i-1)) {
					ans=0;
					puts("-1");
					break;
				}
			}
			if(ans) pf("%lld\n",pos);
		}
	}
}
int main() {
	#ifdef LOCAL
	freopen("in.txt","r",stdin);
	freopen("my.out","w",stdout);
	#endif
	wing_heart :: main();
}