递推求解DAG最长路径长度及最长路径条数

说明

在一般图中,求解最长路或最短路只能通过最短路算法解决

但是在DAG中,由于不存在环,因此可以通过递推,以线性复杂度计算处最长路或最短路。当然需要首先对有向图进行Tarjan缩点转化为DAG

例题

题目理解

首先对题目中涉及到的几个概念做几点说明：

1. 半连通：任意点对\((u, v)\)，满足\(u->v\) 或 \(v->u\)有路径。因为且是满足或的，所以强连通满足半连通
   
   因此若要满足半连通，只需没有孤立点即可
2. 导出子图：图\(G\)的导出子图是指，\(G\)顶点的一个子集\(E\)和\(G\)中两端顶点均在\(E\)中的边构成的图

如果理解了半连通和导出子图的定义，有一定概率我们可以想到如果将原图转换为DAG，因为图上边权是一致的，因此包含最多节点数目的一条路径是最长路

如果可以想到这个结论，下一步的想法很自然的就是去判断最长路是否为最大半连通子图，有以下两点因素需要考虑：

1. 最长路是否为半连通的
   
   因为强连通是半连通的且单向链路是半连通的，而Tarjan缩点后图上最长路是一条包含强连通分量的单向链路，因此最长路是半连通的
2. 最长路是否为导出子图
   
   若最长路中的两点之间存在重边，显然最长路只会包含重边中的一条，但根据导出子图的定义，导出子图应当将该两点中的重边全部包含在内，因此最长路并非导出子图
   
   虽然最长路并非最大半连通子图，但是可以发现，最长路不满足最大半连通子图的原因在于没有选择一些重边，假设我们加上这些重边，那么最长路显然就成为了最大半连通子图。而且我们可以发现，虽然加上了这些边，但最长路中点的数量并没有发生改变

综上所述，实际结论为：最大半连通子图拥有的节点数 $K == $ 有向有环图转换为DAG后最长路的长度，不同的最大半连通子图的数目$C == $有向有环图转换为DAG后最长路的条数

代码实现

1. Tarjan求强连通分量缩点，将原图转换为DAG
2. 利用DP思想递推求解最长路长度和最长路条数
   
   f[i]: 统计走到i点时获得的最大长度
   
   g[i]：统计以最大长度走到i点时的方案数
   
   设i点的前驱节点有一个j，则操作逻辑如下

// 从j点走来总长度大于当前最大长度，则选择从j点走来
if (f[j] + Size[i] > f[i])
{
    f[i] = f[j] + Size[i];
    g[i] = f[j];
}
// 从j点走来总长度与当前最大长度相等，则走到i点既可以按现在的方案也可以选择从j点走来
else if (f[j] + Size[i] == f[i])
    g[i] += g[j];

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <stack>
#include <vector>
#include <unordered_map>

using namespace std;
using LL = long long;

const int N = 1e5 + 10, M = 2e6 + 10; // M应当包含原图和缩点后的图，边数应当*2

int n, m, mod;
int h[N], hs[N], e[M], ne[M], idx;
stack<int> stk;
bool in_stk[N];
int dfn[N], low[N], timestamp;
int id[N], Size[N], scc_cnt;
unordered_map<LL, bool> st;
int f[N], g[N];

void add(int *h, int a, int b)
{
    e[idx] = b;
    ne[idx] = h[a];
    h[a] = idx ++;
}
void tarjan(int u)
{
    dfn[u] = low[u] = ++ timestamp;
    stk.push(u); in_stk[u] = true;

    for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i])
    {
        int j = e[i];
        if (!dfn[j])
        {
            tarjan(j);
            low[u] = min(low[u], low[j]);
        }
        else if (in_stk[j]) low[u] = min(low[u], dfn[j]);
    }

    if (dfn[u] == low[u])
    {
        int y;
        ++ scc_cnt;
        do {
            y = stk.top(); stk.pop();
            in_stk[y] = false;
            id[y] = scc_cnt;
            ++ Size[scc_cnt];
        } while (y != u);
    }
}
int main()
{
    memset(h, -1, sizeof h);
    memset(hs, -1, sizeof hs);

    cin >> n >> m >> mod;
    for (int i = 0; i < m; ++ i)
    {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        add(h, a, b);
    }

    for (int i = 1; i <= n; ++ i)
        if (!dfn[i])
            tarjan(i);

    for (int i = 1; i <= n; ++ i)
        for (int j = h[i]; ~j; j = ne[j])
        {
            int k = e[j];
            int a = id[i], b = id[k];
            LL hash = a * 1000000ll + b; // 可能会爆int，需要ll

            if (a != b && !st[hash])
            {
                add(hs, a, b);
                st[hash] = true;
            }
        }

    /**
     *  递推需要按照拓扑序进行，否则数据无法更新完全
     *  scc_cnt越小，则其在拓扑序中越靠后
     *  scc_cnt从大到小的顺序即为拓扑序的顺序
     */
    for (int i = scc_cnt; i >= 1; -- i)
    // for (int i = 1; i <= scc_cnt; ++ i)
    {
        if (!f[i])
        {
            f[i] = Size[i];
            g[i] = 1;
        }
        for (int j = hs[i]; ~j; j = ne[j])  // 注意这里的节点是指缩点之后的节点，需要使用hs
        {
            int p = e[j];
            if (f[p] < f[i] + Size[p])
            {
                f[p] = f[i] + Size[p];
                g[p] = g[i];
            }
            else if (f[p] == f[i] + Size[p])
                g[p] = (g[p] + g[i]) % mod;
        }
    }

    int maxf = -0x3f3f3f3f, maxg = -0x3f3f3f3f;
    for (int i = 1; i <= scc_cnt; ++ i)
        if (f[i] > maxf)
        {
            maxf = f[i];
            maxg = g[i];
        }
        else if (f[i] == maxf)
            maxg = (maxg + g[i]) % mod;

    cout << maxf << endl << maxg << endl;

    return 0;
}