[ARC096C] Everything on It 补题记录

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题目大意：

对于集合 \(\{1,2,\dots,n\}\) ，求它的子集族中，有多少个满足：

• 任意两个子集互不相同；
• \(1,2,\dots,n\) 都在其中至少出现了 \(2\) 次。

答案对 \(M\) 取模。

看到这种东西就要想到容斥。

设 \(F_i\) 表示至少有 \(i\) 个数字只出现了一次。

更具体的，就是 \(F_i\) 个数只出现一次，其他的数出现次数随便。

由容斥我们可以知道：

\[Ans = \sum_{i=0}^n(-1)^iF_i
\]

我们来考虑这时 \(n-i\) 个随便的部分构成的方案数。

首先，这 \(n - i\) 个数随便定是否只出现了一次，可以看出方案数是 \(2^{n-i}\) 。

然后对于每一个得出的情况，我们都可以选或不选，所以就是 \(2^{2^{n-i}}\) 。

再来看从 \(n\) 个数选出 \(i\) 个一定出现一次的方案数 \(C_n^i\) 很简单。

如果我们设 \(f_i\) 表示恰好有 \(i\) 个数只出现了一次，那么可以得到：

\[F_i=f_i\times2^{2^{n-i}}\times C_n^i
\]

现在着手考虑 \(f_i\) 是怎么得到的。

我们设 \(g_{i,j}\) 表示 \(i\) 个只出现一次的数放到 \(j\) 个集合的方案数。

• 当此时第 \(j\) 个集合没有不合法的数，此时 \(i\) 只能填在此处 \(\rightarrow g_{i-1,j-1}\)
• 意味着 \(j\) 个集合里面都有不合法的数字了，这样的话第 \(i\) 个不合法的数可以选择加入到 \(j\) 个集合中任意一个，也可以不加入任何集合。（因为不是强制的） \(\rightarrow (j+1)g_{i-1,j}\)

非常显然的 \(g_{i,j}\) 自然是这两种情况的和。

\[g_{i,j}=g_{i-1, j-1}+(j+1)g_{i-1,j}
\]

最后我们枚举有几个集合里有非法的元素就可以了。

注意：除了不合法的数字一个集合中还可以有其他的元素，及 \((2^{n-i})^j\)

\[f_i=\sum_{j=0}^ig_{i,j}\times (2^{n-i})^j\\
Ans = \sum_{i=0}^n(-1)^i\times\sum_{j=0}^ig_{i,j}\times (2^{n-i})^j\times2^{2^{n-i}}\times C_n^i
\]

呃呃呃，这个 \(Ans\) 的式子可能有一点点乱。。。

Code

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>

#define file(a) freopen(a".in", "r", stdin), freopen(a".out", "w", stdout)

#define Enter putchar('\n')
#define quad putchar(' ')

#define int long long
const int N = 3005;

int n, mod, fac[N], g[N][N], ans;

inline int power(int a, int n, int mod);
inline int C(int n, int m);

signed main(void) {
  std::cin >> n >> mod;
  fac[0] = 1;
  for (int i = 1; i <= n; i++)
    fac[i] = fac[i - 1] * i % mod;
  for (int i = 0; i <= n; i++) {
    g[i][0] = 1;
    for (int j = 1; j <= i; j++)
      g[i][j] = (g[i - 1][j - 1] + (j + 1) * g[i - 1][j] % mod) % mod;
  }
  for (int i = 0, lala; i <= n; i++) {
    int two = power(2, n - i, mod - 1);
    two = power(2, two, mod);
    int num = power(2, n - i, mod), F = 0, mul = 1;
    for (int j = 0; j <= i; j++) {
      F = (F + g[i][j] * mul) % mod;
      mul = mul * num % mod;
    }
    if (i % 2 == 1) lala = mod - C(n, i);
    else lala = C(n, i);
    ans = (ans + F * lala % mod * two % mod) % mod;
    ans = (ans % mod + mod) % mod;
  }
  std::cout << ans << std::endl;
  return 0;
}

inline int power(int a, int n, int mod) {
  int ret = 1;
  while (n) {
    if (n & 1) ret = ret * a % mod;
    a = a * a % mod;
    n /= 2;
  }
  return ret;
}
inline int C(int n, int m) {
  if (n < m) return 0;
  int ret = fac[n];
  ret = ret * power(fac[m], mod - 2, mod) % mod;
  ret = ret * power(fac[n - m], mod - 2, mod) % mod;
  return ret;
}