洛谷P1462 通往奥格瑞玛的道路(SPFA+二分答案)

题目背景

在艾泽拉斯大陆上有一位名叫歪嘴哦的神奇术士，他是部落的中坚力量

有一天他醒来后发现自己居然到了联盟的主城暴风城

在被众多联盟的士兵攻击后，他决定逃回自己的家乡奥格瑞玛

题目描述

在艾泽拉斯，有\(n\)个城市。编号为\(1,2,3,\dots,n\)。

城市之间有\(m\)条双向的公路，连接着两个城市，从某个城市到另一个城市，会遭到联盟的攻击，进而损失一定的血量。

每次经过一个城市，都会被收取一定的过路费（包括起点和终点）。路上并没有收费站。

假设\(1\)为暴风城，\(n\)为奥格瑞玛，而他的血量最多为\(b\)，出发时他的血量是满的。

歪嘴哦不希望花很多钱，他想知道，在可以到达奥格瑞玛的情况下，他所经过的所有城市中最多的一次收取的费用的最小值是多少。

输入格式

第一行\(3\)个正整数，\(n\)，\(m\)，\(b\)。分别表示有\(n\)个城市，\(m\)条公路，歪嘴哦的血量为\(b\)。

接下来有\(n\)行，每行\(1\)个正整数，\(f_i\)。表示经过城市\(i\)，需要交费\(f_i\)元。

再接下来有\(m\)行，每行3个正整数，\(a_i\)，\(b_i\)，\(c_i\)\((1 \le a_i，b_i \le n)\)。表示城市\(a_i\)和城市\(b_i\)之间有一条公路，如果从城市\(a_i\)到城市\(b_i\)，或者从城市\(b_i\)到城市\(a_i\)，会损失\(c_i\)的血量。

输出格式

仅一个整数，表示歪嘴哦交费最多的一次的最小值。

如果他无法到达奥格瑞玛，输出\(\text{AFK}\)。

输入输出样例

输入 #1

4 4 8
8
5
6
10
2 1 2
2 4 1
1 3 4
3 4 3

输出 #1

10

说明/提示

对于\(60%\)的数据，满足\(n \le 200，m \le 10^4，b \le 200\)

对于\(100%\)的数据，满足\(n \le 10^4\)，\(m \le 5 \times 10^4\)，\(b \le 10^9\),满足\(c_i \le10^9，f_i \le 10^9\)，可能有两条边连接着相同的城市。

血量为0的时候,视为可以通过.

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解题报告

题意理解

这道题目,让我们满足两个条件.

1. 血量充足,也就是路径消耗要小于血量最大值.

2. 这条路径上经过的点,最大点权最小.

3. 从起点到终点

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算法解析

如果说排除,血量因素,这道题目是非常显然的最短路径问题.

但是我们现在多了一个限制条件,那么该如何是好?

我们知道,如果说我们的最终答案是\(x_1\),也就是说答案路径上最大点的点权为\(x_1\).

现在有一个值\(x_2\),表示限制目标答案路径上最大点的点权为\(x_2\)

\[若x_1<x_2,显然x_2这个条件是可以满足的
\]

同理,我们也可以推断出.

\[若x_1>x_2,显然x_2这个条件是无法满足的,因为题目的答案是x_1,而不是x_2.
\]

综上所述,我们不难得出结论.

这道题目可以,二分最大点权,也就是二分答案

既然如此,我们的判断\(check\)函数,如何处理呢?

我们可以用最短路算法作为判断.以血量作为权值.

转移,则是满足.这条边抵达的终点\(y\),需要满足\(y<=mid\)

然后这道题目就这样解决了.

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代码解析

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e4+20,M=5e4+20;
#define int long long//这道题目数据范围有点大,所以为了抱歉,我们选择long long
int n,m,b,f[N],l,r,head[M],edge[M<<1],Next[M<<1],ver[M<<1],tot,vis[N],dis[N];
inline int Spfa(int mid)
{
	memset(vis,false,sizeof(vis));
	memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
	queue<int> q;
	q.push(1);
	dis[1]=0;
	if (f[1]>mid)//初始点也要判断
		return false;
	while(q.size())
	{
		int now=q.front();
		q.pop();
		vis[now]=false;
		for(int i=head[now]; i; i=Next[i])
		{
			int y=edge[i],w=dis[now]+ver[i];
			if (dis[y]>w && f[y]<=mid)//目标点点权不可以大于限制值
			{
				dis[y]=w;
				if (!vis[y])
				{
					q.push(y);
					vis[y]=1;
				}
			}
		}
	}
	return dis[n]<=b;//需要满足血量花费不可以大于最大花费
}
inline void add_edge(int a,int b,int c)
{
	edge[++tot]=b;
	ver[tot]=c;
	Next[tot]=head[a];
	head[a]=tot;
}
inline void init()
{
	scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&b);
	for(int i=1; i<=n; i++)
	{
		scanf("%lld",&f[i]);
		r=max(f[i],r);//最大点权
	}
	for(int i=1; i<=m; i++)
	{
		int a,b,c;
		scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&c);
		add_edge(a,b,c);
		add_edge(b,a,c);//建立无向图
	}
	while(l<r)//二分
	{
		int mid=l+r>>1;
		if (Spfa(mid))
			r=mid;
		else
			l=mid+1;
	}
	if (!Spfa(r))//无解
		puts("AFK");
	else
		printf("%lld\n",r);
}
signed main()
{
	init();
	return 0;
}