Leetcode题目322.零钱兑换（动态规划-中等）

题目描述：

给定不同面额的硬币 coins 和一个总金额 amount。编写一个函数来计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1。

示例 1:

输入: coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出: 3
解释: 11 = 5 + 5 + 1
示例 2:

输入: coins = [2], amount = 3
输出: -1
说明:
你可以认为每种硬币的数量是无限的。

思路：动态规划（https://leetcode-cn.com/problems/coin-change/solution/dong-tai-gui-hua-suan-fa-si-xiang-by-hikes/）

假设你是个土豪，你有1，5，10，20，50，100的钞票，你要凑出666买瓶水喝，依据生活经验，我们一般采取这样的策略：能用100就用100的，否则就用50的，依此类推，在这种策略下，666=100*6 + 50 1 + 10 1 + 51 + 11, 一共用了10张钞票。

这种策略就称为 贪心策略 ：贪心策略是在当前情况下做出最好的选择，根据需要凑出的金额来进行贪心，但是，如果我们换一组钞票面值，比如 1， 5， 11，我们要凑出15的时候， 贪心策略就会出错：

15 = 11 * 1 + 1 * 4 (贪心策略）
15 = 5 * 3（正确策略）
贪心策略哪里出错了？
鼠目寸光

重新分析刚刚的例子。w=15时，我们如果取11，接下来就面对w=4的情况；如果取5，则接下来面对w=10的情况。我们发现这些问题都有相同的形式：“给定w，凑出w所用的最少钞票是多少张？” 接下来，我们用f(n)来表示“凑出n所需的最少钞票数量”。　　
那么，如果我们取了11，最后的代价（用掉的钞票总数）是多少呢？
　　
明显 ，它的意义是：利用11来凑出15，付出的代价等于f(4)加上自己这一张钞票。现在我们暂时不管f(4)怎么求出来。
依次类推，马上可以知道：如果我们用5来凑出15，cost就是f(10) + 1 = 2 + 1 = 3 。　
　那么，现在w=15的时候，我们该取那种钞票呢？当然是各种方案中，cost值最低的那一个
- 取11：　cost=f(4)+1=4+1=5　
- 取5： 　 cost = f(10) + 1 = 2 + 1 = 3
- 取1： 　cost = f(14) + 1 = 4 + 1 = 5
显而易见，cost值最低的是取5的方案。我们通过上面三个式子，做出了正确的决策!
这给了我们一个至关重要的启示—— 只与 相关；更确切地说： f(n) 只与 f(n-1),f(n-5),f(n-11) 相关；更确切地说：
f(n)=min{f(n-1),f(n-5),f(n-11)}+1

则数组内面值为为[1,5,11]时：

int [] f = new int[amount + 1], cost;
f[0] = 0;
for(int i = 1; i <= amount; i++){
      cost = Integer.MAX_VALUE;
      if(i - 1 >=0） cost = Math.min(cost, f[i-1] + 1);
      if(i - 5 >=0） cost = Math.min(cost, f[i-5] + 1);
      if(i - 11 >=0） cost = Math.min(cost, f[i-11] + 1);
      f[i]=cost;
}

代码实现：

class Solution {
  public static int coinChange(int[] coins, int amount) {

        int[] dp = new int[amount + 1];
        dp[0] = 0;
        for (int i = 1; i <= amount; i++) {
            int cost = Integer.MAX_VALUE;
            for (int j = 0; j < coins.length; j++) {
                if (i - coins[j] >= 0) {
                    if(dp[i-coins[j]] != Integer.MAX_VALUE) {
                        cost = Math.min(cost, dp[i - coins[j]] + 1);
                    }
                }
            }
            dp[i] = cost;
        }
        return dp[amount] == Integer.MAX_VALUE ? -1 : dp[amount];
    }
}