题意:

一个游戏,有许多关,到下一关要花费金钱,做出尝试,有概率成功,若成功则到达下一关,若失败则停在此关或退回到前面某关,询问第l关到第r关的期望费用

题解:

显然,第r关到第l关的费用是dp[r]-dp[l]

那么如何算出dp数组呢?首先dp[1]=0,利用期望方程正推

假设i点,成功率为p,失败则跳到j,成功则跳到k,花费q,则期望方程为

dp[k]=dp[i]+p(q)+(1-p)(dp[k]-dp[j])

移项后递推即可

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef long long ll;
typedef pair<int, LL>P;
const int M = 4e5 * + ;
const LL mod = 1e9 + ;
const LL lINF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
#define ls (rt<<1)
#define rs (rt<<1|1)
LL gcd(LL a, LL b) { return b ? gcd(b, a%b) : a; }
LL quickpow(LL a, LL b, LL mod)
{
LL res = ;
while (b)
{
if (b & )
res = (res*a) % mod;
a = (a*a) % mod;
b >>= ;
}
return res;
}
inline int read()
{
int x = , f = ;
char ch = getchar();
while (ch < '' || ch > '')
{
if (ch == '-')
f = -;
ch = getchar();
}
while (ch >= '' && ch <= '')
{
x = * x + ch - '';
ch = getchar();
}
return x * f;
}
inline ll readll()
{
ll x = , f = ;
char ch = getchar();
while (ch < '' || ch > '')
{
if (ch == '-')
f = -;
ch = getchar();
}
while (ch >= '' && ch <= '')
{
x = * x + ch - '';
ch = getchar();
}
return x * f;
}
int n, q;
LL r[M], s[M], x[M], a[M], dp[M];
int main()
{
int t = read();
while (t--)
{
n = readll();
q = readll();
for (int i = ; i <= n; i++)
{
r[i] = readll();
s[i] = readll();
x[i] = readll();
a[i] = readll();
}
dp[] = quickpow(r[], mod - , mod)*a[] % mod*s[] % mod;
for (int i = ; i <= n; i++)
{
LL tmp = ((a[i] + (s[i] - r[i])*quickpow(s[i], mod - , mod) % mod*(dp[i] - dp[x[i]] + mod) % mod) % mod) % mod*s[i] % mod * quickpow(r[i], mod - , mod) % mod;
dp[i + ] = (dp[i] + tmp) % mod;
}
while (q--)
{
int l, r;
l = read();
r = read();
printf("%lld\n", (dp[r] - dp[l] + mod) % mod);
}
}
}

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