求x！在k进制下后缀零的个数（洛谷月赛T1）

求x！在k进制下后缀和的个数

20分：
    求十进制下的x！后缀和的个数

40分：

高精求阶乘，直接模拟过程 (我不管反正我不打，本蒟蒻最讨厌高精了)

60分
    利用一个定理（网上有求x！在10进制、2进制下后缀和的个数的题，原理一样）

　证明：（转自http://www.cnblogs.com/dolphin0520/）

求n的阶乘某个因子a的个数，如果n比较小，可以直接算出来，但是如果n很大，此时n!超出了数据的表示范围，这种直接求的方法肯定行不通。其实n!可以表示成统一的方式。

    n!=(k^m)*(m!)*a   其中k是该因子，m=n/k，a是不含因子k的数的乘积

    下面推导这个公式

    n!=n*(n-1)*(n-2)*......3*2*1

    =(k*2k*3k.....*mk)*a      a是不含因子k的数的乘积，显然m=n/k;

    =(k^m)*(1*2*3...*m)*a

    =k^m*m!*a

    接下来按照相同的方法可以求出m!中含有因子k的个数。

    因此就可以求除n!中因子k的个数

上代码：

 long long fac(long long x,long long y)
 {
     if (x<y)
         return ;
     else
         return x/y+fac(x/y,y);
 }   

比如样例：求10！在40进制下后缀和的个数

X！转40进制只需不停地除以40，所以后缀零的个数等于x！能整除40 的个数。那么决定x！能整除多少个40的原因在于40的质因子（40=2*2*2*5=2^3+5^1），所以只要求在x！中40的某一质因子出现的次数，最后求出最少出现次数就行。根据质因子分解计算k的质因子p在x！中出现的次数：

可分解为x!=x*p^e的形式，e=x/p + x/p^2 + x/p^3+ ……，根据这个公式就能写出以下函数

再上个代码：

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cmath>
 #define N 3000001
 using namespace std;
 long long a[N],b[N];//a数组存k的质因子，b数组存k的某质因子的个数
 long long sum;
 long long n,k;
 long long ans=0x7fffffffffffffff,temp;
 void fenjie(long long s)  //求质因子及个数 （大概不需要解释了吧。。。）
 {
     long long i,j=;
     for (i=;i*i<=s;i++)
         if (s%i==)
         {
             long long count=;
             a[j]=i;
             while (s%i==)
             {
                 count++;
                 s/=i;
             }
             b[j++]=count;
         }
     if (s>)
     {
         a[j]=s;
         b[j++]=;
     }   //可能容易遗漏，即k本身是质数
     sum=j;
 }   

 long long fac(long long x,long long y)
 {
     if (x<y)
         return ;  //判断x是否小于y，若小于，结束统计(否则会一直做下去)
     else
         return x/y+fac(x/y,y); //统计n！中a[i]出现的次数
 }   

 int main()
 {
     while (scanf("%lld%lld",&n,&k)==)  //多组数据嘿嘿嘿（反正有人因为这个没分）
     {
         fenjie(k);
         for(int i=;i<sum;i++)
         {
             temp=fac(n,a[i]);
             temp/=b[i];  //注意，k可以分解为多个a[i]，所以temp还要再除以a[i]的个数
             ans=ans>temp?temp:ans;
         }
         printf("%lld\n",ans);
     }
     return ;
 }   

100分：

洛谷给出的终极巨无霸正解要用到Pollard rho算法来求k的质因子及其个数（反正我不会，而且代码超级长），我直接用了博客上的模板提交，发现确实不超时了，但莫名奇妙地wa了三个点。。。反正赛后改了数据还是ac了。