比特镇步行(Walk)【虚点+bfs+dfs】

Online Judge：NOIP2016十连测第一场 T3

Label：虚点，bfs，dfs

题目描述

说明/提示

对于100%数据,\(n<=200000\)，\(m<=300000\)，\(val_i<=2^{20}\)

题解

既然是二进制，只有当\(val_j\)是\(val_i\)的子集时，i有一条连向j的边。

1.先来看看如果只有原图，也就是不考虑两两连边时怎么得到每个点离源点1的距离？

很明显跑个最短路。但由于边权都为1，就不用跑\(dijkstra/spfa\)什么的了，直接一遍\(O(N)\)的\(bfs\)就可以了。

2.考虑两两连边时怎么做？

如果直接两两判断能否连边是\(O(N^2)\)，时间和空间都承受不了。

考虑设置虚点，也就是将边\(u->v\)，转化为\(u->val_u->...->val_v->v\)。先别在意上面这些边的方向。基本思想就是利用这些二进制数作为中间媒介来模拟连边，根据\(val_i\)的数据范围，顶多只有\(2^{20}=1048576\)个数字，这看起来似乎比较可做。

令\(dis[]\)表示每个点离源点1的距离，由于虚点相当于媒介，我们并不将其计入距离中，所以数组大小开\((N)\)。初始时将\(dis[]\)初始化为-1，源点\(dis[1]=0\)。

设现在\(bfs\)的队首元素为\(x\)。

按照原来的思路，设\(x\)两两连边时能连向实点\(y\)（\(val_j∈val_i\)），如果之前没有访问过\(y\)（也就是\(dis[y]==-1\)）则\(dis[y]=dis[x]+1\)。按照bfs的流程走，还应该将\(y\)加进队列末去。所以如何去在可行的时间内去模拟呢？直接套一个\(dfs\)，去暴力枚举\(val_x\)的子集，当然如果真的这样做每次取出队首后，时间复杂度都是\(O(val_x的子集数)\)，一定会T。回到刚才采取\(bfs\)来搜最短路的思路，如果某个点第一次被访问到，那当前这个准备更新的距离就是他到源点的最短路，所以直接记忆化一下，只有当当前二进制数没有被\(mark\)时才继续dfs子集。

这样每个二进制数最多只会被弄到一次。总的时间复杂度大致为\(O(2^{20}+N+M)\)。

完整代码如下：

ps:下面代码中用\(e\)存实点与实点之间的原有有向边，用\(g\)存\(val_i\)指向\(i\)的有向边。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=200010,M=300010;
inline int read(){
    int x=0;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9')c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
    return x;
}
struct Edge{
    int to,nxt;
}e[M];//实点与实点
vector<int>g[1<<20];//虚点连向实点
int n,m,head[N],cnt;
inline void link(int u,int v){
    e[++cnt].to=v,e[cnt].nxt=head[u];
    head[u]=cnt;
}

queue<int>q;
int val[N],dis[N],mark[1<<20];
void boom(int now,int s,int lst){//解决子集
	if(mark[now])return;
	mark[now]=1;
	for(int i=0;i<g[now].size();i++){
		int y=g[now][i];
		if(dis[y]==-1){
			dis[y]=dis[s]+1;
			q.push(y);
		}
	}
	for(int i=lst+1;i<=20;i++)if((1<<i)&now)boom(now^(1<<i),s,lst+1);
}
void bfs(){
    memset(dis,-1,sizeof(dis));
    q.push(1);dis[1]=0;
    while(!q.empty()){
        int x=q.front();q.pop();
        for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt){
            int y=e[i].to;
            if(dis[y]==-1){
				dis[y]=dis[x]+1;
				q.push(y);
			}
        }
        boom(val[x],x,-1);
    }
}
int main(){
    n=read(),m=read();
    for(int i=1;i<=n;i++){
		val[i]=read();
		g[val[i]].push_back(i);
	}
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int u=read(),v=read();
        link(u,v);
    }
    bfs();
	for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d\n",dis[i]);
}