[JZOJ6355] 【NOIP2019模拟】普 24/100

题目

题目大意

给你一个序列，对于所有\(k\in [1,n]\)，求长度为\(k\)的子序列的最大权值，权值为\(a_1-a_2+a_3-...\pm a_k\)

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思考历程

这题显然可以背包对吧……

所以就直接背包吧……

比赛的时候我还想到了分治，但由于两边合在一起很慢，所以就直接打暴力了。

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正解

题解的线段树做法看得并不是很懂。

所以我就说一个分治的方法。

首先题解有个结论：\(k\)的子序列必然是\(k-2\)的子序列中插入两个数。

记住是插入，而不仅仅是往左右两边扩展。

为什么呢？考虑反证，如果不是这样，就是\(k-2\)的子序列中除去若干个数，然后再插入若干的数。这样实际上相当于从\(k-x\)的状态转移过来，其中\(x>2\)。

所以我们只需要证明从\(k-2\)转移过来比更前面的地方转移过来更优。

假设从\(k-3\)转移过来（其它的情况类似）。

我们将\(k-2\)的序列中按顺序插入\(x\)和\(y\)，那么整个序列被分成几个部分\(AxByC\)，权值为\(A\pm x-B\pm y+C\)（我们不需要关系\(x\)和\(y\)的正负，\(B\)是原本的贡献，在插入之后符号要翻过来）。

将\(k-3\)的序列中插入\(x\)和\(y\)和\(z\)（我们假设\(x\)和\(y\)插入的位置相同），分成：\(AxByDzE\)，权值为\(A \pm x-B \pm y+D \pm z-E\)

比较一下，前半部分抵消了，就变成\(C\)和\(D \pm z-E\)

它们都可以看做一个整体。如果后面的更优，它肯定会在之前替代\(C\)。所以前者是更优一些的。

这就证完了。

然后考虑分治。分治的重点是合并左右两个区间的答案。

考虑由\(s\)转移到\(s+2\)。设转移\(s\)的时候左边用了\(s_1\)个，右边用了\(s_2\)个。

分类讨论看看新插入的两个点放哪边，就有如下三种情况：

1. 左边\(s_1+2\)，右边\(s_2\)。
2. 左边\(s_1+1\)，右边\(s_2+1\)
3. 左边\(s_1\)，右边\(s_2+2\).

根据上面的那个结论，前后两种情况是没有问题的。问题在于第二种情况。

由于是\(+1\)，所以就不能用那个结论。

然而，我们发现，在左边\(s1\)或右边\(s2\)的状态中各插一个，其实也算在左边\(s1+1\)或右边\(s2+1\).的状态中。也就是说，\(s1+1\)的状态大于等于\(s1\)插一个转移过去的状态。

所以这样操作没有影响。

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代码

using namespace std;
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <climits>
#define N 100010
int n,a[N];
int _fmn[N],_fmx[N];
int gmn[N],gmx[N];
inline int at(int *a,int x){return x?a[x]:0;}
void dfs(int l,int r){
	int *fmn=_fmn+l-1,*fmx=_fmx+l-1;
	if (l==r){
		fmn[1]=fmx[1]=a[l];
		return;
	}
	int mid=l+r>>1;
	dfs(l,mid),dfs(mid+1,r);
	int *lmn=_fmn+l-1,*lmx=_fmx+l-1,*rmn=_fmn+mid,*rmx=_fmx+mid,s1=0,s2=0;
	for (int i=2;i<=r-l+1;i+=2){
		int ts1,ts2,v=INT_MIN;
		if (s2+2<=r-mid){
			int tmp=(s1&1?at(lmx,s1)-at(rmn,s2+2):at(lmx,s1)+at(rmx,s2+2));
			if (tmp>v)
				v=tmp,ts1=s1,ts2=s2+2;
		}
		if (s1+1<=mid-l+1 && s2+1<=r-mid){
			int tmp=(s1+1&1?at(lmx,s1+1)-at(rmn,s2+1):at(lmx,s1+1)+at(rmx,s2+1));
			if (tmp>v)
				v=tmp,ts1=s1+1,ts2=s2+1;
		}
		if (s1+2<=mid-l+1){
			int tmp=(s1+2&1?at(lmx,s1+2)-at(rmn,s2):at(lmx,s1+2)+at(rmx,s2));
			if (tmp>v)
				v=tmp,ts1=s1+2,ts2=s2;
		}
		gmx[i]=v;
		s1=ts1,s2=ts2;
	}
	s1=0,s2=0;
	for (int i=2;i<=r-l+1;i+=2){
		int ts1,ts2,v=INT_MAX;
		if (s2+2<=r-mid){
			int tmp=(s1&1?at(lmn,s1)-at(rmx,s2+2):at(lmn,s1)+at(rmn,s2+2));
			if (tmp<v)
				v=tmp,ts1=s1,ts2=s2+2;
		}
		if (s1+1<=mid-l+1 && s2+1<=r-mid){
			int tmp=(s1+1&1?at(lmn,s1+1)-at(rmx,s2+1):at(lmn,s1+1)+at(rmn,s2+1));
			if (tmp<v)
				v=tmp,ts1=s1+1,ts2=s2+1;
		}
		if (s1+2<=mid-l+1){
			int tmp=(s1+2&1?at(lmn,s1+2)-at(rmx,s2):at(lmn,s1+2)+at(rmn,s2));
			if (tmp<v)
				v=tmp,ts1=s1+2,ts2=s2;
		}
		gmn[i]=v;
		s1=ts1,s2=ts2;
	}
	if (lmx[1]>rmx[1])
		s1=1,s2=0,gmx[1]=lmx[1];
	else
		s1=0,s2=1,gmx[1]=rmx[1];
	for (int i=3;i<=r-l+1;i+=2){
		int ts1,ts2,v=INT_MIN;
		if (s2+2<=r-mid){
			int tmp=(s1&1?at(lmx,s1)-at(rmn,s2+2):at(lmx,s1)+at(rmx,s2+2));
			if (tmp>v)
				v=tmp,ts1=s1,ts2=s2+2;
		}
		if (s1+1<=mid-l+1 && s2+1<=r-mid){
			int tmp=(s1+1&1?at(lmx,s1+1)-at(rmn,s2+1):at(lmx,s1+1)+at(rmx,s2+1));
			if (tmp>v)
				v=tmp,ts1=s1+1,ts2=s2+1;
		}
		if (s1+2<=mid-l+1){
			int tmp=(s1+2&1?at(lmx,s1+2)-at(rmn,s2):at(lmx,s1+2)+at(rmx,s2));
			if (tmp>v)
				v=tmp,ts1=s1+2,ts2=s2;
		}
		gmx[i]=v;
		s1=ts1,s2=ts2;
	}
	if (lmn[1]<rmn[1])
		s1=1,s2=0,gmn[1]=lmn[1];
	else
		s1=0,s2=1,gmn[1]=rmn[1];
	for (int i=3;i<=r-l+1;i+=2){
		int ts1,ts2,v=INT_MAX;
		if (s2+2<=r-mid){
			int tmp=(s1&1?at(lmn,s1)-at(rmx,s2+2):at(lmn,s1)+at(rmn,s2+2));
			if (tmp<v)
				v=tmp,ts1=s1,ts2=s2+2;
		}
		if (s1+1<=mid-l+1 && s2+1<=r-mid){
			int tmp=(s1+1&1?at(lmn,s1+1)-at(rmx,s2+1):at(lmn,s1+1)+at(rmn,s2+1));
			if (tmp<v)
				v=tmp,ts1=s1+1,ts2=s2+1;
		}
		if (s1+2<=mid-l+1){
			int tmp=(s1+2&1?at(lmn,s1+2)-at(rmx,s2):at(lmn,s1+2)+at(rmn,s2));
			if (tmp<v)
				v=tmp,ts1=s1+2,ts2=s2;
		}
		gmn[i]=v;
		s1=ts1,s2=ts2;
	}
	for (int i=1;i<=r-l+1;++i)
		fmn[i]=gmn[i],fmx[i]=gmx[i];
}
int main(){
	freopen("pe.in","r",stdin);
	freopen("pe.out","w",stdout);
	scanf("%d",&n);
	for (int i=1;i<=n;++i)
		scanf("%d",&a[i]);
	dfs(1,n);
	for (int i=1;i<=n;++i)
		printf("%d ",_fmx[i]);
	return 0;
}

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总结

结论是要靠猜的……