CodeCraft-19 and Codeforces Round #537 (Div. 2) E 虚树 + 树形dp(新坑)
https://codeforces.com/contest/1111/problem/E
题意
一颗有n个点的树,有q个询问,每次从树挑出k个点,问将这k个点分成m组,需要保证在同一组中不存在一个点是另一个点的祖先这种情况,问有多少中分组方案
题解
- 首先解决转移问题,假设一次询问全颗树的分组方案数,定义dp[u][i]为到树节点u,分了i组的方案数,其中num(fa[u])为u的祖先节点个数
- \(dp[u][i]=dp[fa][i]*(i-num(fa[u]))+dp[fa][i-1]\)
- 当前这个点独立分组:\(dp[fa][i-1]->dp[u][i]\)
- 当前这个点加入前面的分组:\(dp[fa][i]*(i-num(fa[u]))->dp[u][i]\)
- 反着扫,滚掉一维
- 然后每次询问一些点,但点询问的总规模数和总点数相同的这种问题可以考虑用虚树解决
代码
#include<bits/stdc++.h>
#define MOD 1000000007
#define MAXN 100005
#define MAXM 305
#define MAXK 100005
#define ll long long
using namespace std;
int n,i,q,u,v,sp[MAXN],dfn[MAXN],dep[MAXN],f[MAXN][40],rt;
ll ans,dp[MAXM];
int k,m,r,ti,S[MAXK];
vector<int>g[MAXN];
vector<int>vt[MAXK];
bool cmp(int x,int y){
return dfn[x]<dfn[y];
}
void dfs1(int u,int fa){
dfn[u]=++ti;
dep[u]=dep[fa]+1;
f[u][0]=fa;
for(int i=1;i<=20;i++)f[u][i]=f[f[u][i-1]][i-1];
for(auto v:g[u])
if(v!=fa)dfs1(v,u);
}
int lca(int u,int v){
if(dep[u]<dep[v])swap(u,v);
int dis=dep[u]-dep[v];
for(int i=20;i>=0;i--)if((dis>>i)&1)u=f[u][i];
if(u==v)return u;
for(int i=20;i>=0;i--){
if(f[u][i]!=f[v][i]){
u=f[u][i];
v=f[v][i];
}
}
return f[u][0];
}
void add_edge(int u,int v){
vt[u].push_back(v);
vt[v].push_back(u);
}
void build_vtree(vector<int>& a){
sort(a.begin(),a.end(),cmp);
a.erase(unique(a.begin(),a.end()),a.end());
int t=0;
S[t++]=a[0];
vector<int>b;b.clear();
for(int i=1;i<a.size();i++){
if(t==0){S[t++]=a[i];continue;}
int l=lca(a[i],S[t-1]);
while(t>1&&dfn[S[t-2]]>=dfn[l]){add_edge(S[t-2],S[t-1]);t--;}
if(l!=S[t-1]){add_edge(S[t-1],l);S[t-1]=l;b.push_back(l);}
S[t++]=a[i];
}
while(t>1){add_edge(S[t-1],S[t-2]);t--;}
for(auto u:b)a.push_back(u);
}
void dfs2(int u,int fa,int cnt){
if(sp[u]){
for(int i=m;i>=1;i--){
if(i>cnt)dp[i]=dp[i]*(i-cnt)%MOD;
else dp[i]=0;
dp[i]=(dp[i]+dp[i-1])%MOD;
}
dp[0]=0;
cnt++;
}
for(int i=0;i<vt[u].size();i++){
int v=vt[u][i];if(v==fa)continue;
dfs2(v,u,cnt);
}
}
int main(){
cin>>n>>q;
for(int i=0;i<n-1;i++){
scanf("%d%d",&u,&v);
g[u].push_back(v);
g[v].push_back(u);
}
dfs1(1,0);
while(q--){
scanf("%d%d%d",&k,&m,&r);
vector<int>nodes;nodes.clear();
for(int i=0;i<k;i++){
scanf("%d",&u);
nodes.push_back(u);
sp[u]=1;
}
nodes.push_back(r);
build_vtree(nodes);
memset(dp,0,sizeof(dp));
dp[0]=1;
dfs2(r,0,0);
ans=0;
for(int i=0;i<=m;i++)ans=(ans+dp[i])%MOD;
printf("%lld\n",ans);
for(auto u:nodes)sp[u]=0;
for(auto u:nodes)vt[u].clear();
}
}
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