设$f(x)=x^2+ax+b,g(x)=x^2+cx+d$，如果$f(g(x))=g(f(x))$没有实根,求证:$b\ne d$


分析:$f(g(x))-g(f(x))=2(c-a)x^3+\cdots$,由于三次方程必有实数根,故$c=a$，从而$b\ne d$;不然$f(x)=g(x)$则$f(g(x))=g(f(x))$有无数实数根，与题意矛盾.

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