大整数乘法（Comba 乘法 （Comba Multiplication）原理）

Comba 乘法以（在密码学方面）不太出名的 Paul G. Comba 得名。上面的笔算乘法，虽然比较简单， 但是有个很大的问题：在 O(n^2) 的复杂度上进行计算和向上传递进位，看看前面的那个竖式，每计算一次单精度乘法都要计算和传递进位，这样的话就使得嵌套循环的顺序性很强，难以并行展开和实现。Comba 乘法则无需进行嵌套进位来计算乘法，所以虽然其时间复杂度和基线乘法一样，但是速度会快很多。还是以计算 123 * 456 为例：

1            2            3

x        4             5            6

-----------------------------------------------

6           12          18

5          10         15

4           8          12

------------------------------------------------

4          13          28         27         18

4          13          28         28           8

4          13          30          8

4          16           0

5          6

0         5

------------------------------------------------------

5           6             0            8             8

和普通的笔算乘法很类似，只是每一次单精度乘法只是单纯计算乘法，不计算进位，进位留到每一列累加后进行。所以原来需要 n * n 次进位，现在最多只需要 2n 次即可。

以上就是 Comba 乘法的原理，不过这里有个比较严重的问题：如何保证累加后结果不溢出。上面的例子，假设单精度数 1  位数，双精度是两位数，那万一累加后的结果超过两位数则么办？那没办法，只能用三精度变量了。在大整数算法中，单精度能表示的最大整数是 2^n - 1（n 是单精度变量的比特数），用三个单精度变量 c2，c1，c0 连在一起作为一个三精度变量（高位在左，低位在右），则 c2 || c1 || c0 能表示的最大整数是 2^(3n) - 1，最多能存放 (2^(3n) - 1) / ((2^n - 1)^2) 个单精度乘积结果。当 n = 32 时，能够存放 4294967298 个单精度乘积结果；当 n = 64 时，能够存放约 1.845 * 10^19 个单精度乘积结果，而我一开始规定 bignum 不能超过 25600 个数位，这样使用三精度变量就可以保证累加结果不会溢出了。

有了上面的铺垫，下面就把 Comba 乘法的思路列出来：

1.先将俩个字符数组从后面开始转换为整数数组；

2.乘以后的数组就是c[i+j]+=a[i]*b[j]；

3.c数组从小到大依次进位

4.输出，注意c数组是的0是个位，所以从最后一位开始输出，用ok标志不为0的时候开始输出

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<string>
 #include<cstring>
 using namespace std;
 int main()
 {
     char  a[],b[];
     cin>>a>>b;
     int x[],y[],c[];
     int flag=;
       for(int i=;i<;i++)
          c[i]=;
     for(int i=strlen(a)-;i>=;i--)
           x[flag++]=a[i]-'';
           int key=;
           for(int i=strlen(b)-;i>=;i--)
             y[key++]=b[i]-'';
           for(int i=;i<flag;i++)
                 for(int j=;j<key;j++)
                      c[i+j]+=x[i]*y[j];

                     for(int i=;i<;i++)
                     {
                         if(c[i]>=)
                         {
                             c[i+]+=c[i]/;
                             c[i]%=;

                         }
                         }
                     int ok=;
                     for(int i=-;i>=;i--)
                     {
                         if(ok) cout<<c[i];
                         else if(c[i])
                         {
                             cout<<c[i];
                             ok=;

                         }

             }

     return ;

 }