Codeforces 938E Max History：排列 + 逆元【考虑单个元素的贡献】

题目链接：http://codeforces.com/problemset/problem/938/E

题意：

　　定义f(a):

　　　　初始时f(a) = 0, M = 1。

　　　　枚举i = 2 to n，如果a[i] > a[M]，那么f(a) += a[M], M = i。

　　给定长度为n的数组a，问你它的所有排列的f(a)之和 MOD 1e9+7。

题解：

　　对于某个确定排列中的一个数a[i]，如果所有大于等于a[i]的数都排在a[i]之后，那么一定ans += a[i]。

　　所以就要求每个a[i]对于答案的贡献，相加起来即为总答案。

　　先将a[i]升序排列。

　　考虑由所有n个数组成的排列：

　　　　总排列数为n!。

　　仅考虑由大于等于a[i]的数组成的排列：

　　　　大于等于a[i]的数共有n-i+1个。

　　　　总排列数为(n-i+1)!。

　　　　其中a[i]排在最前面的排列有(n-i)!个。

　　所以由n个数组成，且所有大于等于a[i]的数都排在a[i]之后

　　这样的排列的总数为(n-i)! / (n-i+1)! * n!个。

　　化简即为n!/(n-i+1)个。

　　所以a[i]对答案作出的贡献为：n! / (n-i+1) * a[i]。

　　所以对于区间[i,nex)，如果a[i to nex-1]都相等的话

　　这个区间对答案做出的总贡献即为：n! / (n-i+1) * a[i] * (nex-i)

　　特别地，如果有a[i] == a[n]，显然它对答案的贡献为0。

　　另外，对于贡献中的除以(n-i+1)，应该写成乘inv(n-i+1)。

　　最后O(n)统计一下就好。

AC Code:

 #include <iostream>
 #include <stdio.h>
 #include <string.h>
 #include <algorithm>
 #define MAX_N 1000005
 #define MOD 1000000007

 using namespace std;

 int n;
 int a[MAX_N];
 long long ans=;

 void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
 {
     if(b==)
     {
         x=; y=;
         return;
     }
     exgcd(b,a%b,y,x);
     y-=(a/b)*x;
 }

 int inv(int a)
 {
     int x,y;
     exgcd(a,MOD,x,y);
     return (x%MOD+MOD)%MOD;
 }

 int main()
 {
     cin>>n;
     for(int i=;i<=n;i++) cin>>a[i];
     long long f=;
     for(int i=;i<=n;i++) f=f*i%MOD;
     sort(a+,a++n);
     int nex=;
     for(int i=;i<=n;i=nex)
     {
         if(a[i]==a[n]) break;
         while(nex<=n && a[i]==a[nex]) nex++;
         ans=(ans+f*inv(n-i+)%MOD*a[i]%MOD*(nex-i)%MOD)%MOD;
     }
     cout<<ans<<endl;
 }